Punto de vista geométrico de las restricciones armónicas (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) en Relatividad General

Eso$\Delta g_{ij} = 0$como lo define, es equivalente a decir que el gradiente de todos los componentes métricos tiene una divergencia que se desvanece

$$g_{ij;k}{}^k \equiv g^{k\ell}g_{ij;k\ell} = 0.$$ Aquí es importante recordar que los índices $i,j$denota funciones. Para aclarar esto vamos a dejar $g_k$representar el gradiente de una función componente arbitraria $g_{ij}$. De este modo $$g_k := g_{ij;k}.$$

Luego considere el operador estrella de Hodge$*: \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)$que podemos considerar definido por

$$*\alpha = \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\alpha^{\vec{J}}\epsilon_{\vec{J}\vec{I}}\omega^{\vec{I}},$$ dónde $\omega^i$es el campo de marco local en $T^*M$, $\epsilon_{i_1\ldots i_n}$es el $n$-símbolo de Levi-Civita dimensional, y $\vec{I},\vec{J},\ldots$denotan multiíndices estrictamente crecientes de longitudes apropiadas (por encima de $\vec{J}$es de longitud $k$y $\vec{I}$es de longitud $(n-k)$). Para simplificar la notación tomamos $\varepsilon_{I} := \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\epsilon_{I}$ser el tensor de Levi-Civita.

En el caso de una forma 1, el dual de Hodge es esencialmente un$(n-1)$-forma completamente ortogonal a la 1-forma original. para dejar$\alpha_i$sea ​​la forma 1, luego la contracción en algún índice con$*\alpha$rendimientos

$$\alpha^i\alpha^j\varepsilon_{ik_1\ldots k_{r-1} j k_{r+1} \ldots k_n} = 0.$$

Por lo tanto, no debería sorprender que el operador estrella de Hodge pueda usarse cuando se consideran flujos a través de una superficie. Para hacer las cosas más precisas, considere una hipersuperficie,$\Sigma$, definida por la normal$\eta_i$, que tomamos al principio como no nulo y normalizado. Entonces el elemento de superficie invariante de$\Sigma$es dado por$*\eta$, y por abuso de notación podemos designar el elemento de superficie dirigido por$d\Sigma_i := \eta_i{*\eta}$. Sin embargo, también podemos escribir

$$d\Sigma_i = \varepsilon_{i\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_\Sigma,$$ dónde $|_\Sigma$denota proyección sobre la superficie $\Sigma$. Para ver esta nota que la contracción con $\eta_i$produce el mismo resultado para ambas expresiones de $d\Sigma_i$, al igual que la contracción con cualquier 1-forma o vector ortogonal a $\eta_i$. Sin embargo, la última expresión también está bien definida para hipersuperficies nulas, y por continuidad también da el elemento de superficie dirigido en estos casos.

Se puede ver fácilmente que esto implica que las funciones componentes no tienen máximos ni mínimos locales, según el teorema de Stoke sobre variedades uniformes. Supongamos que hay un mínimo local en$p$, entonces hay una región con frontera,$V$, que contiene$p$tal que

$$\int_{\partial V} g^{k}d\Sigma_k \neq 0,$$ Pero por el teorema de Stoke sobre variedades suaves $$\int_{\partial V}g^{k}d\Sigma_k = \int_Vd\left(g^{k}d\Sigma_k\right) = \int_V g^k{}_{;k}dV.$$

Dependiendo de sus preferencias, la expresión final se puede confirmar en un marco de coordenadas de la fórmula

$$X^j{}_{;j} = \frac{1}{\sqrt{|\det g|}}\left(\sqrt{|\det g|}X^j\right)_{,j},$$ que es válido en marcos de coordenadas y se deriva de la fórmula de Jacobi para la derivada de un determinante; en un marco rígido de la primera ecuación de Cartan $$d\omega^i = \omega^j\wedge\gamma^i{}_j,$$ dónde $\gamma^i{}_j$son las formas de conexión; y en un marco mixto de ambos.

EDITAR : anteriormente había concluido por error que las funciones de los componentes deben ser constantes, utilizando la compacidad local. Sin embargo, el argumento anterior sólo funciona en el interior de la región. Por lo tanto, solo podemos decir que la función es tal que cualquier mínimo o máximo local debe estar en el límite y, en particular, no debe haber mínimos ni máximos locales en regiones abiertas. Por supuesto, las funciones de componentes constantes aún satisfacen la condición, pero hay una clase más amplia de funciones que la cumplen.