Construyendo vielbein a partir de una métrica dada: ejemplo: coordenadas esféricas 2D

La relación habitual entre métrica y vielbein viene dada por

$$\begin{align} g^{\mu\nu} = e^{\mu}{}_a e^{\nu}{}_{b} \eta^{ab} \end{align}$$ dónde $\eta^{ab}$es plano, $\mu,\nu$es curvo, ( $i.e$, índice de difeomorfismo: índice relacionado con el cambio de coordenadas) y $a,b$son (índice de Lorentz).

Sé que para una métrica dada, la forma de vielbein no es única. Aunque quiero construir vielbein y verificar arriba y a la inversa de arriba de forma independiente.

En el libro de texto habitual de GR, aunque mencionan vielbeins, para el cálculo real solo calculan formas 1 (base ortonormal) y obtienen los mismos resultados.

Por ejemplo en esfera

$$\begin{align} ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 \end{align}$$ y $e_r = dr$, $e_{\theta} = rd\theta$, $e_{\varphi} = r \sin(\theta) d\varphi$, luego a través del formalismo de Cartan (a través de sus ecuaciones de estructura), puedo calcular la conexión, el tensor de Riemann, etc.

Lo que quiero saber es el proceso de cálculo de vielbein de la métrica general dada. (no necesariamente ser diagonal) Antes de generalizar, quiero saber un caso simple.