Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

Question

Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

Simón219

Como siempre puedo expresar un punto local en una variedad para que sea un marco de inercia local, el símbolo de Christoffel siempre es cero en ese punto en particular. En Spacetime and Geometry de Carrol, la ecuación (3.128) muestra la derivación del tensor de Riemann en términos de métrica en un marco inercial local donde desaparece el símbolo de Christoffel. Sin embargo, ¿por qué sus derivados no desaparecen? La derivada de cero sigue siendo cero.

mike piedra

x

$x$ es cero en

x = 0

$x=0$ pero su derivado no es cero allí. Lo mismo con

Γ

$\Gamma$ .

cucú

El hecho de que una función se desvanezca en un punto no significa que la derivada se desvanezca. p.ej:

f (x) = x

$f(x)=x$ , o

f (x) = \sin x

$f(x)=\sin x$ o

f (x) = \tan x

$f(x)=\tan x$ o

f (x, y) = (x, y)

$f(x,y)=(x,y)$ todos se desvanecen en el origen, pero ninguno de sus derivados se desvanece. La derivada depende de los valores de la función en una vecindad abierta del punto. Si la función es idénticamente cero en una vecindad abierta, entonces todas las derivadas se anularán idénticamente en esa vecindad abierta.

Respuestas (1)

Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

$x$ es cero en $x=0$ pero su derivado no es cero allí. Lo mismo con $\Gamma$ .
El hecho de que una función se desvanezca en un punto no significa que la derivada se desvanezca. p.ej: $f(x)=x$ , o $f(x)=\sin x$ o $f(x)=\tan x$ o $f(x,y)=(x,y)$ todos se desvanecen en el origen, pero ninguno de sus derivados se desvanece. La derivada depende de los valores de la función en una vecindad abierta del punto. Si la función es idénticamente cero en una vecindad abierta, entonces todas las derivadas se anularán idénticamente en esa vecindad abierta.

Eletie · Answer 1

La existencia de coordenadas normales de Riemann significa que uno puede encontrar coordenadas en un punto $p$ tal que la métrica se puede escribir como

{gramo}_{m v} (pag) = η_{m v}, {gramo}_{m v, λ} (pag) = 0,

$g_{\mu \nu}(p) = \eta_{\mu \nu} \quad , \quad g_{\mu \nu , \lambda}(p)= 0 \ ,$ así que también tenemos

Γ_{μ ν}^{λ} (p) = 0

$\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}(p) = 0$ . Esto no significa que

g_{μ ν, λ σ} (p) = 0

$g_{\mu \nu , \lambda \sigma}(p)= 0$ , por lo que en general

\partial_{ρ} Γ_{μ ν}^{λ} (p) \neq 0

$\partial_\rho \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}(p)\neq 0$ .

Como dicen los otros comentarios, una función puede ser $0$ en un punto pero tienen derivada distinta de cero; De manera similar, que su derivada se desvanezca en un punto no significa que su segunda derivada sea distinta de cero, etc.

Consulte la sección 3.3.1 de estas notas de clase para obtener detalles sobre cómo se puede mostrar la existencia de coordenadas normales o para obtener más detalles en general.

Pensé que el símbolo es solo un coeficiente de vectores base y lo traté como un escalar en lugar de una función. Gracias a todos por responder a mi pregunta.
Es un coeficiente, pero los vectores cambian de un punto a otro.
Todas estas cantidades son campos definidos en cada punto del espacio-tiempo $p$ .

Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

Simón219

mike piedra

cucú

Respuestas (1)

Eletie

Simón219

pedro

Eletie

Interpretación de Coordenadas Normales

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Construyendo vielbein a partir de una métrica dada: ejemplo: coordenadas esféricas 2D

Punto de vista geométrico de las restricciones armónicas (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) en Relatividad General

Grado de libertad de coordenadas para establecer componentes métricos a lo largo de una ruta de espacio-tiempo

¿Cuándo y dónde comprobar la definición formal de variedad?

Aclarar qué métrica cuenta como espacio plano

¿Qué condición cumplen las coordenadas globales?