Si describimos el espacio-tiempo con una variedad lorentziana, siempre es posible elegir un sistema de coordenadas tal que en cualquier punto en particular , los componentes de la métrica son:
Pero nuestra libertad es mucho mayor que esto. En el espacio-tiempo curvo, el principio de equivalencia sugiere que podemos elegir coordenadas tales que la métrica sea de esa forma para cada punto a lo largo de una geodésica temporal elegida. Y en el espacio-tiempo plano, podemos ver un ejemplo explícito de que ni siquiera necesita ser una geodésica, ya que la métrica de Rindler tiene esa forma en cada punto de una línea de mundo particular con una aceleración adecuada constante. Tengo la sensación de que esto es posible para cualquier mundo temporal.
Entonces mi pregunta es:
Dado un sistema de coordenadas y una métrica para una variedad lorentziana y una línea de mundo similar al tiempo en este espacio-tiempo, ¿siempre es posible encontrar una transformación de coordenadas tal que para cada punto en la línea de mundo los componentes de la métrica en este sistema de coordenadas sean simplemente ( 1,-1,-1,-1) en la diagonal?
Me doy cuenta de que incluso para casos simplificados (por ejemplo, una geodésica en el fondo de Schwarzschild), dicho sistema de coordenadas podría ser increíblemente complicado. Entonces, si alguien crea una construcción explícita increíblemente complicada, también demuestre que la solución a las ecuaciones que configura existe con algún tipo de prueba de existencia.
Originalmente, esto comenzó tratando de encontrar un gráfico de coordenadas local para un observador en caída libre hacia un agujero negro, pero me di cuenta de que no conocía una buena forma matemática de representar esa libertad de coordenadas para comenzar. Eventualmente terminé reflexionando sobre esta pregunta actual. Entonces, incluso si no puede dar una respuesta completa, pero puede sugerir algunas herramientas matemáticas o dónde leer sobre ellas, agradecería cualquier ayuda.
Lo que quieres son las coordenadas geodésicas de Fermi .
Desde algún punto inicial en una geodésica temporal con cuatro velocidades , tómate el tiempo adecuado como la coordenada de tiempo y seleccione tres vectores ortonormales que sirven de base para el complemento ortogonal del vector tangente de la geodésica en . Transporte en paralelo los vectores espaciales a lo largo de la geodésica resolviendo la ecuación
En cada , toma el -variedad de geodésicas espaciales que van ortogonalmente a la geodésica temporal dada. En esta variedad, podemos construir las coordenadas normales habituales de Riemann usando nuestros vectores espaciales ortonormales: básicamente, elija un vector unitario , envíe una geodésica espacial allí y luego etiquete cada punto con coordenadas , dónde es la distancia a lo largo de la geodésica espacial.
En el caso de las geodésicas, no sólo se forma la métrica Minkowski en los puntos de la geodésica, sino que allí también desaparecen los símbolos de Christoffel. En general, también podemos usar el transporte de Fermi-Walker para considerar un observador acelerado que también está rotando. Esto se describe, por ejemplo, en MTW §13.6. Esto hace que los símbolos de Christoffel tengan , las componentes del cuadrivector de aceleración, así como un término correspondiente a la rotación del observador en .
Cosas que también te pueden interesar: tétradas y coordenadas de Gullstrand-Painlevé para el espacio-tiempo de Schwarzschild que corresponden al campo de referencia de los observadores de Lemaître en caída libre desde el reposo en el infinito.
Stan Liou