Confusión sobre el principio de equivalencia

Hay dos puntos principales

1. La trayectoria sobre la que se mueve la partícula extrema la acción. Esto significa que la acción es invariante bajo perturbaciones infinitesimales de la trayectoria y no necesariamente bajo perturbaciones finitas.

2. la integral$\int\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^nu}$a lo largo de la curva es realmente el tiempo propio de la curva$\int_{\gamma(t_{init})}^{\gamma(t_{fin})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt$. Esto es independiente de las coordenadas. Si luego separas la integral en$N$intervalos infinitesimales:
   

   $$\sum_{i=0}^N\int_{\gamma(t_i)}^{\gamma(t_{i+1})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt,$$ dónde$t_0=t_{init}$y$t_N=t_{fin}$en realidad, puede usar diferentes coordenadas inerciales locales en cada intervalo y esto debe dar el mismo resultado que usar cualquier otro sistema de coordenadas. Pero sabemos que cada intervalo da el mismo resultado hasta$o((t_{i+1}-t_i)^2)$como fórmula STR correspondiente, por lo que después de sumar todos los intervalos, el resultado sigue siendo$o(\Delta t)$, es decir, los resultados son los mismos.

De modo que la localidad está realmente allí, escondida en el principio variacional.

Creo que el argumento dado por Umaxo es muy bueno y contribuye a una comprensión muy útil. Sin embargo, no es una prueba de que la sustitución de$\eta_{\mu\nu}$por$g_{\mu\nu}$es lo único que se puede hacer al obtener una teoría que respete el principio de equivalencia y se reduzca a la relatividad especial en un espacio-tiempo plano. Uno podría agregar a la fórmula de la acción más términos que involucren el tensor de curvatura de Riemann (o sus contracciones) y tal acción aún se reduciría a la relatividad especial en el caso de curvatura cero. Creo que lo máximo que se puede pretender, partiendo de la relatividad especial, es que la sustitución de$\eta_{\mu\nu}$por$g_{\mu\nu}$aquí está la forma más sencilla de obtener una cantidad escalar que posiblemente podría servir como Lagrangiana. Luego, mediante el análisis, se comprueba que efectivamente hace predicciones sensatas y, por lo tanto, se anima a proponerlo como una conjetura o, si se prefiere, como parte de una teoría física. Entonces uno debe probarlo mediante experimentos.

Dicho esto, un aspecto interesante de la relatividad general es que no es necesario proponer la acción del 'campo' (es decir, el espacio-tiempo y su curvatura) sobre las partículas como un enunciado independiente de la ecuación de campo (aquí la ecuación de Einstein). Esto se debe a que se puede afirmar que una partícula de prueba debe moverse de la misma manera que un cambio local o un 'golpe' en el campo, y la ecuación de campo le dice a ese 'golpe' local cómo moverse. Esto se explora en el libro de texto MTW, entre otros.