¿Cómo sabemos qué tipo de campo de calibre agregar a una teoría?

Question

¿Cómo sabemos qué tipo de campo de calibre agregar a una teoría?

caña nathan

He estado viendo las conferencias de física de partículas de Leonard Susskind y en una de ellas habla de una teoría de calibre muy simple. Tenemos un campo escalar complejo $\phi(x)$ con lagrangiano

L = \partial_{m} ϕ^{*} \partial^{m} ϕ - V (ϕ^{*} ϕ)

$\mathscr{L} = \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi - V(\phi^* \phi)$

y queremos hacer la transformación de calibre $\phi(x) \to e^{i\theta(x)} \phi(x)$ . Pero el término derivado en el Lagrangiano no es invariante si $\theta$ varía de un lugar a otro, por lo que agregamos un nuevo campo vectorial $A_\mu$ , y definirlo para transformar como

A_{m} \to A_{m} + \partial_{m} θ

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \theta$ bajo la transformación de norma. Luego cambiamos el Lagrangiano para usar derivadas covariantes

D_{μ} = \partial_{μ} + i A_{μ}

$D_\mu = \partial_\mu + iA_\mu$ en lugar de los ordinarios; Ahora, cuando se realiza la transformación de calibre, todas las derivadas de

θ

$\theta$ cancelar, y el resultado es invariante.

Mi pregunta es: ¿hubo alguna libertad al elegir agregar un campo vectorial, con esa ley de transformación de calibre específica? ¿Hay alguna otra forma en que podamos obtener la invariancia de calibre aquí, usando una ley de transformación diferente o con un tipo diferente de campo (por ejemplo, un escalar, tensor o espinor) con alguna otra ley de transformación?

De manera más general, ¿cómo podemos saber qué tipo de campo se necesita y cuál debería ser su ley de transformación de calibre, para lograr que un lagrangiano particular sea invariante bajo una transformación de calibre particular?

una mente curiosa

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/100578/50583

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una mente curiosa · Answer 1

No tenemos opción.

Dejar $G$ ser nuestro grupo de calibre y $\Sigma$ nuestro espacio-tiempo. Entonces, para que la teoría sea realmente invariante de calibre, cada campo debe tener una acción definida del grupo de calibre sobre él, es decir, cada campo debe transformarse en una representación de este grupo:

ϕ : Σ \to V_{ρ} donde hay un morfismo de grupo ρ : GRAMO \to GRAMO L (V_{ρ})

$\phi : \Sigma \to V_\rho \text{ where there is a group morphism } \rho : G \to \mathrm{GL}(V_\rho)$

Queremos una derivada $\mathrm{d}_A : \Omega^k(\Sigma) \to \Omega^{k+1}(\Sigma)$ actuando sobre los campos (más generalmente, sobre $k$ -formas que producen $k+1$ -formas) tales que para cada transformación de calibre $g : \Sigma \to G$ tenemos $\mathrm{d}_A(\rho(g)\phi) = \rho(g)\mathrm{d}_A\phi$ , es decir, la derivada también debe transformarse en la representación.

Ahora bien, las formas sólo vienen con dos operaciones naturales que producen un $k+1$ -formar de un $k$ -forma: La derivada exterior $\mathrm{d}$ , que falla miserablemente por sí solo, y el producto de cuña del $k$ -formar con algunos $1$ -forma. Por tanto, la única forma natural de buscar la derivada exterior es

d_{A} ω := d ω + A \land ω

$\mathrm{d}_A \omega := \mathrm{d}\omega + A \wedge \omega$

para algunos $1$ -forma (es decir, campo de vector dual) $A$ . Hay que subrayar que, aunque $A$ es, como un $1$ -forma, de hecho, un campo vectorial (dual) con respecto al grupo de Lorentz, no se está transformando en una representación lineal adecuada de $G$ , ya que su ley de transformación es (para hacer conmutar la acción de grupo y la derivada)

A \mapsto gramo A {gramo}^{- 1} + gramo d {gramo}^{- 1}

$A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$

Se llama forma de conexión y corresponde a una elección particular de un subespacio ortogonal de un espacio tangente del paquete principal subyacente . De esto también se ve que $A$ debe tomar valores en el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ (también porque de lo contrario la ley de transformación anterior tendría poco sentido). Para todas las teorías de calibre, esta elección de subespacio (llamada conexión de Ehresmann ) está en biyección con la elección de un $1$ -forma $A$ en el paquete, que se proyecta hacia abajo (¡local!) $1$ -formulario en $\Sigma$ , dando nuevamente el campo vectorial que encontramos heurísticamente al buscar la derivada covariante.

Sin embargo, debe señalarse que si relajamos nuestras nociones de lo que es una teoría de calibre, entonces hay "formas de conexión" que no son campos vectoriales. El mejor ejemplo (y el único que conozco) es el de los símbolos de Christoffel en GR, que son secciones del haz tangente del haz del marco, el haz del jet (en contraste con los campos de norma que son secciones del haz tangente del haz principal). paquete), que puede verse como las formas de conexión que determinan la conexión Levi-Civita, análogas a los campos de norma que determinan la conexión Ehresmann.

Todavía estoy digiriendo esto (lo hiciste con un poco más de generalidad de lo que necesitaba :)), pero déjame ver si tengo la idea general. El problema es que porque $g$ varía en el espacio-tiempo, los términos derivados en el Lagrangiano recogen derivados no deseados de $\rho(g)$ . Para cancelarlos, debemos usar un campo que se transforme bajo el grupo de Lorentz de la misma manera que las derivadas de $\rho(g)$ hacer, es decir, como un cuadrivector dual cuyos componentes son miembros de (el $\rho$ representación de) el álgebra de Lie de $G$ . ¿Es eso correcto?

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caña nathan

una mente curiosa

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una mente curiosa

caña nathan

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