Conexión entre el Teorema de Noether y las definiciones clásicas de energía/momento

Creo que tienes las correspondencias en la mecánica clásica un poco al revés.

Cuando está integrando sobre alguna variable, efectivamente se está deshaciendo de ella. Por ejemplo, si está calculando una velocidad promedio, la integrará con el tiempo para deshacerse de la fluctuación en el tiempo. De manera similar, en las distribuciones de probabilidad multivariadas, si desea deshacerse de una variable, entonces la "marginaliza", que es solo una integral sobre la variable de la que desea deshacerse.

Entonces, cuando integras sobre el espacio, te deshaces del espacio dejando solo el tiempo, y cuando integras sobre el tiempo, te deshaces del tiempo dejando solo el espacio. Así, las correspondencias son las mismas tanto clásica como relativistamente ya través del teorema de Noether. En cada caso, la energía se corresponde con el tiempo y el impulso se corresponde con el espacio.

Si miras un poco más de cerca, lo que estás calculando son simplemente las correspondencias dimensionales en las unidades. la unidad de energia es la fuerza$\times$distancia, la unidad de impulso es la fuerza$\times$tiempo (tu primer par de relaciones). La velocidad tiene unidades de distancia/tiempo, por lo tanto, al multiplicar o dividir por la velocidad de la luz, puede convertir un par de relaciones dimensionales en otro (dando el segundo par de relaciones). Si hay un 'significado' más profundo en esto, es que la relatividad especial muestra cómo y por qué.$c$debe entrar en las ecuaciones de posición y cantidad de movimiento.

1. La observación newtoniana de OP (1) incluso se generaliza a la relatividad especial . la fuerza 4

   $${\bf F}~=~\frac{d{\bf P}}{d\tau}~=~\gamma \begin{bmatrix} {\bf f}\cdot \color{red}{{\bf u}/c} \cr {\bf f}\end{bmatrix}\tag{A}$$ está relacionado con las 3 fuerzas $${\bf f}~=~\frac{d{\bf p}}{dt}, \qquad {\bf p} ~=~m_0 \gamma {\bf u}, \tag{B}$$ a través de lo que aparece superficialmente en la ec. (A) ser una versión "al revés" $$\begin{bmatrix} \color{red}{\bf u} \cr \color{red}{c}\end{bmatrix} \tag{C}$$ de 4 velocidades $${\bf U}~=~\frac{d{\bf X}}{d\tau}~=~\gamma \begin{bmatrix} \color{red}{c} \cr \color{red}{\bf u}\end{bmatrix}, \qquad {\bf X}~=~\begin{bmatrix} ct \cr {\bf x}\end{bmatrix}, \tag{D}$$ [si ignoramos el desajuste obvio (2) entre un vector de 3 y un vector de 1]. Pero (i) la fuerza 3${\bf f}$no es un objeto covariante de Lorentz, y (ii)${\bf f}$y${\bf u}$no son completamente independientes, por lo que la observación de OP (1) no implica que una 4 velocidades / 4 posiciones "al revés" (2) tenga algún significado (covariante).

2. Por otro lado, en la mecánica de puntos, de hecho la carga de Noether

   $$Q~=~ {\bf P} \cdot \delta{\bf X}\tag{E}$$ es un 4-producto de Minkowski entre el 4-momentum y el 4-vector de simetría espaciotemporal$\delta{\bf X}$de la acción$S$, cf. por ejemplo, ec. (7) en mi respuesta Phys.SE aquí . Esto confirma la dualidad habitual (5).

El pensamiento físico podría ayudar sobre los enfoques matemáticos:

El teorema de Noether es el único que establece las correspondencias de que la energía no es más que una carga conservada de la simetría de traslación del tiempo y el impulso es la carga conservada de la simetría de traslación del espacio. Estas correspondencias son las consecuencias directas del teorema de Noether.

Para sus correspondencias clásicas:

1) Las primeras correspondencias no tienen significado físico. 2) Las ecuaciones anteriores dan cambios en la energía cinética o el momento y no los valores absolutos. Y solo porque tienes dos ecuaciones idénticas no significa que puedas jugar con ellas para hacer correspondencias físicas. 3) El concepto de carga solo se define para una simetría.

Por lo tanto, las primeras conclusiones son completamente erróneas y no tienen ningún significado físico.