¿Cómo elegir la función correcta de Green?

Considere el caso de un campo escalar libre, gobernado por el Lagrangiano habitual,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

El propagador, o equivalentemente la función de Green para la teoría, es una función que puede considerarse como una respuesta cuando usamos una función delta como entrada en las ecuaciones de movimiento, es decir

$$\square \Delta_F(x-y) \sim \delta^{(4)}(x-y)$$

Explícitamente, está dada por una integral de Fourier sobre cuatro impulsos,

$$\Delta_F (x-y)=\int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2} e^{-ip \cdot (x-y)}$$

Nos encontramos con una singularidad en$p^0 = \pm \sqrt{p^2+m^2} = \pm E_{p}$. Podemos elegir un contorno que los evite sumergiéndonos por debajo del primero y luego por encima del otro. Sin embargo, para aplicar el teorema del residuo, debe ser cerrado. Para$x^0 > y^0$, lo cerramos en sentido antihorario en el semiplano superior, y al contrario si$y^0 > x^0$. Alternativamente, podemos definir el propagador de Feynman,

$$\Delta_F = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, \frac{i}{p^2-m^2 + i\epsilon} e^{-ip\cdot (x-y)}$$

El$i\epsilon$la prescripción de Feynman desplaza los polos en una cantidad infinitesimal alejándose del eje real; por lo que la integral que pasa en línea recta por la línea real es equivalente al contorno antes mencionado.

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Dependiendo de su propósito, puede ser útil elegir un contorno particular, en cuyo caso podemos definir el propagador retardado$\Delta_R$como el que opta por pasar por encima de cada polo en la línea real, y el contorno adelantado por pasar por debajo. Vea la representación a continuación:

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Para comprender lo que significan físicamente, considere en el contexto de la teoría de la respuesta, la función de respuesta$\chi$que determina cómo cambia un sistema bajo la adición de una fuente$\phi$, es decir

$$\delta \langle \mathcal{O}_i(t) \rangle = \int dt' \chi(t-t')\phi(t')$$

Está claro que lo mencionado anteriormente es de hecho una convolución,$\chi \ast \phi$, y$\chi$también tiene la interpretación de una función de Green. Pero no podemos afectar el pasado, tan claramente,

$$\chi(t) = 0, \quad t < 0$$

Para la transformada de Fourier, esto es equivalente a afirmar,

$$\chi(\omega) \quad \mathrm{analytic}, \quad \mathrm{Im} \, \omega > 0$$

En otras palabras,$\chi(\omega)$no tiene polos en el semiplano superior. este objeto$\chi(t)$es de hecho nuestra función de Green retrasada, y también se la llama función de Green causal, precisamente porque se impone el requisito anterior.