Condiciones necesarias y suficientes para que una función sea la función de estado de Wigner

Su pregunta, de hecho, ha sido golpeada hasta la médula en los 70 años de la formulación y, como sugirió, las condiciones necesarias no son todas independientes, por lo que las partes son redundantes.

Por un estado puro real$f(x,p)$la condición suficiente es sencilla, la ecuación (6) de la Ref. 1: Dada su transformada de Fourier (la densidad espectral cruzada) debe factorizar "izquierda-derecha",

Para estados mixtos, debe hacer un juego de pies mental incorporando WF fuera de la diagonal. Las referencias de Narkowich 1986, 1987 en ese libro cubren gran parte del paseo marítimo. (Básicamente, una WF de estado mixto tiene una integral de espacio de fase de superposición no negativa con todas las WF de estado puro del planeta; por lo tanto, elegir una base completa conveniente, como los estados propios del oscilador, podría ser práctico para verificar la suficiencia).

Recuerde que los momentos del espacio de fase de cualquiera y todos los WF están automáticamente restringidos para satisfacer el principio de incertidumbre, que se cumple para todos los estados puros (y, por lo tanto, mixtos), por la estructura impuesta por la condición anterior.

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .

El inverso del mapa de Wigner es el mapa de cuantización de Weyl.

Dejar$a(x,\xi)$ser una función del espacio de fase (es decir, el símbolo, en términos matemáticos).

• Si$a$tiene valor real, entonces$(a)^{Weyl}$es simétrico;

• Dejar$g(x,\xi)\in C^\infty(\mathbb{R}^{2d}; \mathbb{R}_+^*)$tal que$\partial_{(x,\xi)}^\alpha g=O(g)$para cualquier$\alpha\in \mathbb{N}^{2d}$y uniformemente en$\mathbb{R}^{2d}$. Entonces$g$se llama función de orden. Ahora considere una función de orden$g$eso tambien esta en$L^1(\mathbb{R}^{2d})$, y construir el espacio de símbolos$S_{2d}(g)$:$a\in S_{2d}(g)$si$a$es suave en$(x,\xi)$, y para cualquier$\alpha\in\mathbb{N}^{2d}$,$\partial_{(x,\xi)}^\alpha a=O(g)$.

  Entonces para cualquier$a\in S_{2d}(g)$,$(a)^{Weyl}$es la clase de seguimiento en$L^2(\mathbb{R}^d)$; además

  $$Tr (a)^{Weyl}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^d}\int a(x,\xi)dxd\xi\; .$$

Por lo tanto, tiene suficientes condiciones en el símbolo para que sea la función de Wigner de un operador simétrico de clase de seguimiento, con seguimiento uno. Solo se debe verificar la positividad del operador para dar un estado. Desgraciadamente no sé cómo comprobar a priori que la cuantización de Weyl de un símbolo dado es un operador positivo.

Como referencia sobre el procedimiento de cuantización de Weyl, les sugiero este libro de Martinez .

Una versión cuántica del teorema de Bochner, discutida por ejemplo por Bröcker y Werner y Srinivas y Wolf , proporciona una condición necesaria y suficiente para la función de Wigner (y las funciones P o Q que se pueden obtener de las funciones de Wigner por convolución/desconvolución) para corresponder a un operador de densidad válido (o un operador positivo en general) comprobando su transformada de Fourier.