Movimiento armónico simple para masa unida a un resorte vertical

Question

Movimiento armónico simple para masa unida a un resorte vertical

Baugh_Mania

Así que estaba viendo el caso en el que tenemos un objeto de masa $m$ unido a un resorte con constante de resorte $k$ . El resorte está unido al techo. Estaba trabajando para llegar a una ecuación de movimiento para liberar la masa en el punto donde el resorte se relaja en el caso de que no haya carga.

Definiendo el punto inicial como $y=0$ y tomando hacia arriba como la dirección positiva que pude obtener,

metro y^{″} = - k y - metro gramo ⟹ y^{″} + ω^{2} y = - gramo

$my''=-ky-mg \implies y''+\omega^2y=-g$

Aquí $\omega^2=\frac{k}{m}$ . Esto conduce a una solución

y (t) = \frac{gramo}{ω^{2}} [C o s (ω t) - 1]

$y(t)=\frac{g}{\omega^2}[cos(\omega t)-1]$

Suponiendo que esto sea cierto, el objeto oscilaría con la misma amplitud durante un período de tiempo indefinido. Intuitivamente, pensaría que la gravedad actuaría como una fuerza amortiguadora que hace que las oscilaciones desaparezcan, pero este no parece ser el caso. ¿Tiene sentido que el objeto en este caso oscile eternamente?

jordan abbott

No estoy de acuerdo con tu solución para

y (t)

$y(t)$ (Yo obtengo

y (t) = e^{i ω^{2} t} - \frac{g}{ω^{2}}

$y(t)=e^{i\omega^2 t}-\frac{g}{\omega^2}$ )

Baugh_Mania

Ok, tendré que volver a revisar mi trabajo. Gracias.

ZeroTheHero

Definir la variable desplazada

Y = ω^{2} y + g

$Y=\omega^2 y+ g$ y encontrar el EOM para

Y

$Y$ ...

c y f

@Ian B. ¿Es la ausencia de

g

$g$ en tu ecuación para

y (t)

$y(t)$ solo un error tipográfico? también debe haber un signo relativo entre las dos fuerzas que actúan (de lo contrario, es posible que no exista una longitud de equilibrio)

Baugh_Mania

Sí, lo es. Gracias por señalarlo. Con respecto al signo, supuse que ambos tendrían un signo negativo. Si hacia arriba es positivo entonces

F_{g} = - m g

$F_g=-mg$ pero para hacer que la fuerza del resorte sea positiva en valores negativos de

y

$y$ y negativo para valores positivos, entonces pensé que tendría que ser

F_{s} = - k y

$F_s = -ky$ con

k > 0

$k>0$ .

c y f

@Ian B. Sí, tienes razón. En su caso, la longitud de equilibrio es donde

y = - m g / k

$y=-mg/k$ , si es positivo hacia arriba.

usuario137289

La gravedad es conservativa.

Respuestas (2)

Movimiento armónico simple para masa unida a un resorte vertical

No estoy de acuerdo con tu solución para $y(t)$ (Yo obtengo $y(t)=e^{i\omega^2 t}-\frac{g}{\omega^2}$ )
Definir la variable desplazada $Y=\omega^2 y+ g$ y encontrar el EOM para $Y$ ...
@Ian B. ¿Es la ausencia de $g$ en tu ecuación para $y(t)$ solo un error tipográfico? también debe haber un signo relativo entre las dos fuerzas que actúan (de lo contrario, es posible que no exista una longitud de equilibrio)
Sí, lo es. Gracias por señalarlo. Con respecto al signo, supuse que ambos tendrían un signo negativo. Si hacia arriba es positivo entonces $F_g=-mg$ pero para hacer que la fuerza del resorte sea positiva en valores negativos de $y$ y negativo para valores positivos, entonces pensé que tendría que ser $F_s = -ky$ con $k>0$ .
@Ian B. Sí, tienes razón. En su caso, la longitud de equilibrio es donde $y=-mg/k$ , si es positivo hacia arriba.

c y f · Answer 1

En tu ecuación, $y$ es la extensión de la longitud relajada o natural del resorte. Si, en cambio, mide la extensión del resorte desde su longitud de equilibrio $y_e$ (donde la fuerza neta sobre la masa es cero), encontrará la misma forma de la ecuación para una masa horizontal sobre un resorte.

- k y - metro gramo = metro \ddot{y} = - k (y + \frac{metro gramo}{k}) = - k (y - y_{mi})

$-ky - mg = m\ddot y = -k \left( y + \frac{mg}{k} \right) = -k(y-y_e)$

Ahora deja $Y = y-y_e = y+mg/k = y+g/\omega^2$ y en esta variable desplazada se obtiene

\ddot{Y} = - ω^{2} Y .

$\ddot Y = -\omega^2Y.$

Tal resultado es de esperar porque, como se señaló en la otra respuesta, la gravedad es una fuerza no disipativa, es conservativa y, como tal, no realiza ningún trabajo neto en el sistema.

Para oscilaciones que decaen en el tiempo, una fuerza impulsora no homogénea dependiente del tiempo, por ejemplo, se vería esquemáticamente como la $y(t)$ derivado en la otra respuesta, de modo que para lo suficientemente grande $t$ , el resorte está en reposo en su longitud de equilibrio $y_e=-g/\omega^2$ .

Juan Alexiou · Answer 2

La solución no tiene términos de amortiguamiento. Una oscilación amortiguada sería de la forma

y^{″} + 2 ζ ω_{norte} y^{'} + ω_{norte}^{2} y + gramo = 0

$y'' +2 \zeta \omega_n y' + \omega_n^2 y + g =0$

_{Dónde $k = m \omega_n^2$ y $c = 2 \zeta m \omega_n$ son los coeficientes de rigidez y amortiguamiento respectivamente.}

con solucion

\begin{aligned} y (t) & = C + Exp (- β t) (A pecado (ω t) + B pecado (ω t)) \\ β & = ω_{norte} ζ \\ ω & = ω_{norte} \sqrt{1 - ζ^{2}} \\ C & = - \frac{gramo}{ω_{norte}^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} y(t) & = C + \exp(-\beta t) \left( A \sin (\omega t)+B \sin (\omega t) \right) \\ \beta & = \omega_n \zeta \\ \omega & = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \\ C & = -\frac{g}{\omega_n^2} \end{aligned}$

y los coeficientes $A$ y $B$ dependiendo de las condiciones iniciales.

Movimiento armónico simple para masa unida a un resorte vertical

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c y f

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usuario137289

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c y f

Juan Alexiou

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