Demostrar que una masa se mueve medio ciclo

Question

Demostrar que una masa se mueve medio ciclo

Rescy_

Considere una masa $m$ en la posición $x(t)$ sobre una mesa horizontal rugosa unida al origen por un resorte con constante $k$ (fuerza restauradora $-kx$ ) y con una fuerza de fricción seca $f$
${\begin{cases} F = F, & si \dot{X} < 0 \\ - F \leq F \leq F, & si \dot{X} = 0 \\ F = - F, & si \dot{X} > 0 \end{cases}$ $\begin{cases} f=F, & \text{if $\dot x \lt 0$}\\ -F \le f \le F, & \text{if $\dot x =0$}\\ f=-F,& \text{if $\dot x \gt 0$} \end{cases}$ a). ¿Cuál es el rango de $x$ ¿Dónde puede descansar la masa?

b) Demuestre que si la masa se mueve, la excursión máxima disminuye en $\frac{2F}{k}$ por medio ciclo.

c) Discutir la moción

Casi completé la pregunta, pero me resulta difícil responder la parte b debido a que no se dieron las condiciones iniciales.

Para la parte b, comencé señalando

metro \frac{d^{2} X}{d t^{2}} = F - k X

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=f-kx$ Alquiler

y = \frac{f}{k} - x

$y = \frac{f}{k}-x$ , Yo obtengo

metro \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - k y

$m{d^2y \over dt^2}=-ky$ de este modo

y = A \cos (ω t + ϕ)

$y = A\cos (\omega t+\phi)$ dónde

A

$A$ y

ϕ

$\phi$ depende de las condiciones iniciales y

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

$\omega= \sqrt \frac{k}{m}$ , de ahí deduzco

X = \frac{F}{k} + A porque (ω t + ϕ)

$x= \frac{f}{k}+A\cos(\omega t+\phi)$

si asumo $x(0) \gt 0$ , entonces

X = \frac{F}{k} + A porque (ω t + ϕ)

$x= \frac{F}{k}+A\cos(\omega t+\phi)$ y por lo tanto

X_{{máximo}_{1}} = \frac{F}{k} + A

$x_{\text{max}_1}= \frac{F}{k}+A$

En el otro medio ciclo, $\dot x \gt 0$ entonces

X = - \frac{F}{k} + A porque (ω t + ϕ)

$x= -\frac{F}{k}+A\cos(\omega t+\phi)$ y

X_{{máximo}_{2}} = \frac{- F}{k} + A porque (ω t + ϕ)

$x_{\text{max}_2}= {-F \over k}+A\cos(\omega t+\phi)$ la diferencia entre el anterior

x_{{max}_{1}}

$x_{\text{max}_1}$ y esto

x_{{max}_{2}}

$x_{\text{max}_2}$ es

\frac{2 F}{k}

$\frac{2F}{k}$ .

◻

$\square$

Del cálculo anterior, creo que he completado aproximadamente la pregunta, pero no pude demostrar que entre $x_{\text{max}_1}$ y $x_{\text{max}_2}$ la masa se ha movido medio ciclo, aunque intuitivamente siento que dado que inicialmente se movió hacia atrás ( $\dot x \lt 0$ ), cuando comienza a moverse hacia adelante ( $\dot x \gt 0$ ) y volver a alcanzar el máximo desplazamiento, debería haber completado medio ciclo.

¿Alguien podría ayudarme a aclarar la situación, por favor?

Editar: al leer la sugerencia que se da a continuación, traté de encontrar la solución, aquí está mi esfuerzo

Primer caso: cuando $\dot x \gt 0$ , $m \ddot x = -kx-F$ . Al sustituir $y=x+{F\over k}$ , Obtuve $x_{(+)}=A\cos(\omega t+\theta _1)-{F\over k}$ , dónde $A \ \text{and} \ \theta_1$ depende de las condiciones iniciales.

Segundo caso: cuando $\dot x \lt 0$ , $m \ddot x=-kx+F$ . Usando un método similar obtuve $x_{(-)}=B\cos(\omega t + \theta_2)+{F\over k}$ .

Sin embargo, me resulta difícil vincular $x_{(+)} \ \text{with} \ x_{(-)}$ . ¿Cómo debo controlar las cuatro constantes arbitrarias? $A,B,\theta_1 \ \text{and} \ \theta_2$ ?

dmckee --- gatito ex-moderador

Te has enredado tanto en las matemáticas del problema que no estás pensando en el sistema. ¿Qué tipo de comportamiento exhibe si

F = 0

$F=0$ (es decir, eliminamos la fricción del sistema)? ¿Cómo, además de juntar una ecuación diferencial, se pueden analizar tales sistemas? ¿De qué manera se relaciona la reducción de la excursión máxima con la fuerza de fricción, asumiendo el tipo de sistema que tenemos cuando no hay fricción (lo sé, pero comience suponiendo que la fricción es pequeña)? Etcétera.

qmecanico

Sugerencias: 1. Muestre que una rama constante

x (t) = c o n s t

$x(t)={\rm const}$ debe tener

| x | \leq \frac{F}{k}

$|x|\leq \frac{F}{k}$ . 2. Encuentra las ramas no constantes más generales

x_{+} (t)

$x_+(t)$ y

x_{-} (t)

$x_-(t)$ , cuando la masa avanza

\dot{x} > 0

$\dot{x}>0$ y al revés

\dot{x} < 0

$\dot{x}<0$ , respectivamente. 3. Concluya que cada rama no constante es un movimiento armónico desplazado. 4. Ahora conecte los tres tipos de ramas para que (entre otras cosas) el movimiento sea continuo en los puntos de inflexión

\dot{x} = 0

$\dot{x}=0$ . 5. Compara las posiciones de puntos de inflexión sucesivos.

Rescy_

@Qmechanic Pero, ¿cómo decidir las condiciones iniciales? He escrito mis esfuerzos en mi pregunta (ver editar). ¿Cómo puedo progresar desde obtener dos sucursales?

qmecanico

Para el caso no constante, puede suponer sin pérdida de generalidad cambiando el

t

$t$ -eje que

x (t = 0) = x_{m a x} > \frac{F}{k}

$x(t=0)=x_{\rm max}>\frac{F}{k}$ está en un punto de inflexión.

Respuestas (2)

Demostrar que una masa se mueve medio ciclo

Te has enredado tanto en las matemáticas del problema que no estás pensando en el sistema. ¿Qué tipo de comportamiento exhibe si $F=0$ (es decir, eliminamos la fricción del sistema)? ¿Cómo, además de juntar una ecuación diferencial, se pueden analizar tales sistemas? ¿De qué manera se relaciona la reducción de la excursión máxima con la fuerza de fricción, asumiendo el tipo de sistema que tenemos cuando no hay fricción (lo sé, pero comience suponiendo que la fricción es pequeña)? Etcétera.
Sugerencias: 1. Muestre que una rama constante $x(t)={\rm const}$ debe tener $|x|\leq \frac{F}{k}$ . 2. Encuentra las ramas no constantes más generales $x_+(t)$ y $x_-(t)$ , cuando la masa avanza $\dot{x}>0$ y al revés $\dot{x}<0$ , respectivamente. 3. Concluya que cada rama no constante es un movimiento armónico desplazado. 4. Ahora conecte los tres tipos de ramas para que (entre otras cosas) el movimiento sea continuo en los puntos de inflexión $\dot{x}=0$ . 5. Compara las posiciones de puntos de inflexión sucesivos.
@Qmechanic Pero, ¿cómo decidir las condiciones iniciales? He escrito mis esfuerzos en mi pregunta (ver editar). ¿Cómo puedo progresar desde obtener dos sucursales?
Para el caso no constante, puede suponer sin pérdida de generalidad cambiando el $t$ -eje que $x(t=0)=x_{\rm max}>\frac{F}{k}$ está en un punto de inflexión.

jac · Answer 1

Supongamos que las condiciones iniciales son $x(0)=A$ y $\dot x(0)=0$ . La ecuación de movimiento mientras $\dot x(t)<0$ es dado por

metro \ddot{X} = - k X + F

$m\ddot x=-kx+F$

que pasa en $t=0$ ? debemos distinguir $F < kA$ y $F \geq kA$ . En el caso $F > kA$ , suponga que la masa comienza a moverse con $\dot x(0)<0$ , la fricción comenzará inmediatamente a tirar de la masa a mayor $x$ . Tan pronto como $\dot x(0)>0$ , la fuerza de fricción comenzará a tirar de nuevo a menor $x$ etcétera. El efecto neto de este cambio continuo de sentido de la fuerza de fricción será que la masa estará en reposo, dado que la fuerza de repulsión del resorte está dominada por la fuerza de fricción. Este razonamiento también es válido para $F=kA$ . Conclusión, la masa está en reposo durante $F \geq kA$ .

¿Qué pasa con el caso en que $F < kA$ ? en este caso, la fricción no domina la fuerza de repulsión del resorte. Deberíamos resolver la ecuación por partes, considerando cada vez un intervalo de tiempo donde $\dot x(0)$ y por lo tanto $f$ no cambies de signo.

La solución para la primera fase es

X (t) = (A - \frac{F}{k}) C o s (ω t) + F / k

$x(t) = (A-\frac{F}{k})cos(\omega t) + F/k$ con

ω^{2} = k / m

$\omega^2 = k/m$ . Esta primera fase llega a su fin cuando

\dot{x} (t) = 0

$\dot x (t)=0$ . esto sucede en

ω t = π

$\omega t=\pi$ . En ese momento

x = - A + 2 F / k

$x=-A+2F/k$ . La ecuación de movimiento se convierte entonces en

metro \ddot{X} = - k X - F, (π < ω t < 2 π)

$m\ddot x=-kx-F, (\pi < \omega t < 2\pi )$ que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, tiene como solución

X (t) = (A - \frac{3 F}{k}) C o s (ω t) - F / k

$x(t) = (A-\frac{3F}{k})cos(\omega t) - F/k$ . En

ω t = 2 π

$\omega t = 2\pi$ , obtenemos

X = A - \frac{4 F}{k}, \dot{X} = 0

$x=A-\frac{4F}{k}, \dot x = 0$ . Ahora estamos de vuelta en la misma situación que en el principio, excepto que

A

$A$ ha sido reemplazado por

A - \frac{4 F}{k}

$A-\frac{4F}{k}$ . Entonces, lo que vemos es que la amplitud disminuye con

2 F / k

$2F/k$ durante un período de tiempo

π / ω

$\pi/\omega$ . Fase

n

$n$ se extenderá desde

ω t = (n - 1) π

$\omega t=(n-1)\pi$ a

ω t = n π

$\omega t=n\pi$ y la ecuación de movimiento será

X (t) = (A - \frac{(2 norte - 1) F}{k}) C o s (ω t) - (- 1)^{norte} \frac{F}{k}

$x(t) = (A-\frac{(2n-1)F}{k})cos(\omega t) - (-1)^n\frac {F}{k}$

Este proceso de disipación de energía y amplitud decreciente continúa hasta que en cierto punto la fuerza de fricción comienza a dominar la fuerza de repulsión del resorte, lo que significa que el cuerpo se detendrá (ver el comienzo de esta respuesta). Esto sucederá al final de la fase. $n$ dónde $n$ es dado por

F > k (A - \frac{2 norte F}{k})

$F>k(A-\frac{2nF}{k})$ de o el más bajo

n

$n$ para cual

norte > \frac{1}{2} (\frac{A k}{F} - 1)

$n>\frac{1}{2}(\frac{Ak}{F}-1)$ Conclusión general: siempre que la fricción no domine la fuerza de repulsión del resorte, es decir, siempre que la amplitud sea lo suficientemente alta, es decir

> F / k

$>F/k$ , el sistema se disipará de tal manera que cada

Δ t = π / ω

$\Delta t=\pi/\omega$ , la amplitud disminuye con

2 F / k

$2F/k$ . En cierto punto, la amplitud se ha reducido hasta el punto en que la fricción comienza a dominar y luego el cuerpo se detiene.

La siguiente imagen muestra la evolución de la posición de la masa en función del tiempo para el caso $A=13F/(2k)$ .

Rescy_ · Answer 2

Aquí hay un método que usa energía.

Suponga que la masa comienza una distancia $A$ desde su punto de equilibrio y se mueve más allá del punto de equilibrio una distancia $B$ antes de dar la vuelta.

La energía inicial del resorte es igual a la energía final del resorte más la energía perdida debido al trabajo por fricción:

\begin{aligned} \frac{1}{2} k A^{2} & = \frac{1}{2} k B^{2} + F A + F B \\ 0 & = \frac{1}{2} k B^{2} + F A + F B - \frac{1}{2} k A^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac12 kA^2 &= \frac12 kB^2 + FA + FB \\ 0 &= \frac12 kB^2 + FA + FB -\frac12 kA^2 \, . \end{align}$

Luego aplica la fórmula cuadrática para obtener $B$ en términos de $A$ . Una raíz es

B = A - 2 F / k .

$B = A -2F/k \, .$

La otra raíz es $B = -A$ , lo que simplemente significa que la masa no se mueve en absoluto.

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Respuestas (2)

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