Simetría en capa desde el punto de vista de la integral de trayectoria

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Simetría en capa desde el punto de vista de la integral de trayectoria

Física
integral de trayectoria
supersimetría
nivel de investigación
teoría cuántica de campos

squark

Normalmente, las teorías cuánticas de campo supersimétricas tienen lagrangianos que son supersimétricos solo en la capa, es decir, con las ecuaciones de campo impuestas. En muchos casos, esto se puede solucionar introduciendo campos auxiliares (campos que no tienen grados de libertad dinámicos, es decir, que en el caparazón se convierten en una función de los otros campos). Sin embargo, hay casos en los que no se conoce tal formulación, por ejemplo, N=4 super-Yang-Mills en 4D.

Dado que la integral de trayectoria es una integral sobre todas las configuraciones de campo, la mayoría de ellas fuera de la capa, ingenuamente no hay razón para que conserve la simetría dentro de la capa. Sin embargo, la simetría se conserva en la teoría cuántica.

Por supuesto, es posible evitar el problema recurriendo a un enfoque "hamiltoniano". Es decir, el espacio de configuraciones de campo en el caparazón es el espacio de fase de la teoría y es (al menos formalmente) posible cuantizarlo. Sin embargo, a uno le gustaría tener una comprensión de la supervivencia de las simetrías en un enfoque de integral de trayectoria. Asi que:

¿Cómo podemos entender la presencia de simetría on-shell después de la cuantización desde el punto de vista de la integral de trayectoria?

Motl de Luboš

Estimado @Squark, seguramente puedes escribir

N = 4

$N=4$ en el

N = 1

$N=1$ superespacio, haciendo que el

N = 1

$N=1$ la subálgebra se manifiesta incluso fuera de la capa e incluso en la integral de trayectoria, ¿no es así? La integral de trayectoria para el

N = 1

$N=1$ el lenguaje es trivialmente equivalente al

N = 0

$N=0$ Formulación "en componentes": la única declaración levemente no trivial detrás de esta afirmación es que la medida cambia, incluido el aux. campos no estropea SUSY. Entonces, en este sentido, creo que SUSY se manifiesta incluso en los no SUSY.

N = 0

$N=0$ formalismo "en componentes" de la integral de trayectoria, fuera de la cáscara. Si ve algunos problemas con esta conclusión, dígame los detalles.

squark

La equivalencia entre N=1 y N=0 es integrando sobre los campos auxiliares, por lo que veo. Por lo tanto, no se manifiesta del todo en el lenguaje N=0. Para N = 4, puede usar el superespacio N = 1, además, el enfoque GIKOS aparentemente permite hacer un manifiesto de supergrupo secundario N = 3. Sin embargo, esto no prueba que se conserve toda la simetría.

squark

Bien, creo que veo la respuesta. Una vez que pueda probar la equivalencia entre N=0 y N=1, puede obtener N=4 eligiendo diferentes subsupergrupos N=1

squark

Bueno, necesito analizar un poco más el caso N=4 SYM, pero, mientras tanto, considere N=1 SYM en 10D. Ya no tenemos una formulación fuera de la cáscara y el N es mínimo.

usuario9744

Justo me preguntaba sobre la misma pregunta. En los foros de física, alguien publicó una cita de Sohnius: "Esta situación, en principio, podría ser desastrosa para las correcciones cuánticas: allí los campos deben tomarse fuera del caparazón, lejos de sus caminos clásicos a través del espacio de configuración. Lo que esto hace para las teorías supersimétricas en el caparazón es bastante poco claro Obviamente, si existe, incluso desconocido para nosotros, alguna versión única fuera del caparazón, no debería haber ningún problema. Pero, ¿qué sucede si la teoría fuera intrínsecamente solo supersimétrica en el caparazón (como en N = 4 y N = 8 supergravedad ) no está claro hasta la fecha". Es esto

Ron Maimón

@Moritz: La razón es que las variaciones SUSY siempre se reducen por productos de ecuaciones de movimiento por una función de otro campo independiente en la integral de trayectoria, de un carácter diferente de Fermi-Bose. En este caso, las ecuaciones de movimiento se cumplen. Esto debería calmar la preocupación de Sohnius.

Respuestas (4)

Simetría en capa desde el punto de vista de la integral de trayectoria

Estimado @Squark, seguramente puedes escribir $N=4$ en el $N=1$ superespacio, haciendo que el $N=1$ la subálgebra se manifiesta incluso fuera de la capa e incluso en la integral de trayectoria, ¿no es así? La integral de trayectoria para el $N=1$ el lenguaje es trivialmente equivalente al $N=0$ Formulación "en componentes": la única declaración levemente no trivial detrás de esta afirmación es que la medida cambia, incluido el aux. campos no estropea SUSY. Entonces, en este sentido, creo que SUSY se manifiesta incluso en los no SUSY. $N=0$ formalismo "en componentes" de la integral de trayectoria, fuera de la cáscara. Si ve algunos problemas con esta conclusión, dígame los detalles.
La equivalencia entre N=1 y N=0 es integrando sobre los campos auxiliares, por lo que veo. Por lo tanto, no se manifiesta del todo en el lenguaje N=0. Para N = 4, puede usar el superespacio N = 1, además, el enfoque GIKOS aparentemente permite hacer un manifiesto de supergrupo secundario N = 3. Sin embargo, esto no prueba que se conserve toda la simetría.
Bien, creo que veo la respuesta. Una vez que pueda probar la equivalencia entre N=0 y N=1, puede obtener N=4 eligiendo diferentes subsupergrupos N=1
Bueno, necesito analizar un poco más el caso N=4 SYM, pero, mientras tanto, considere N=1 SYM en 10D. Ya no tenemos una formulación fuera de la cáscara y el N es mínimo.
Justo me preguntaba sobre la misma pregunta. En los foros de física, alguien publicó una cita de Sohnius: "Esta situación, en principio, podría ser desastrosa para las correcciones cuánticas: allí los campos deben tomarse fuera del caparazón, lejos de sus caminos clásicos a través del espacio de configuración. Lo que esto hace para las teorías supersimétricas en el caparazón es bastante poco claro Obviamente, si existe, incluso desconocido para nosotros, alguna versión única fuera del caparazón, no debería haber ningún problema. Pero, ¿qué sucede si la teoría fuera intrínsecamente solo supersimétrica en el caparazón (como en N = 4 y N = 8 supergravedad ) no está claro hasta la fecha". Es esto
@Moritz: La razón es que las variaciones SUSY siempre se reducen por productos de ecuaciones de movimiento por una función de otro campo independiente en la integral de trayectoria, de un carácter diferente de Fermi-Bose. En este caso, las ecuaciones de movimiento se cumplen. Esto debería calmar la preocupación de Sohnius.

Ron Maimón · Answer 1

El punto de vista que das de cuantizar el espacio de fase no es tan bueno. Si tiene un espacio de fase clásico, habrá más de un análogo cuántico, que se diferenciará por los términos del conmutador que desaparecen clásicamente. Nunca encontré particularmente lúcida la idea de que comienzas con un sistema clásico --- el sistema cuántico está definido por la integral de trayectoria, y la respuesta siempre debe encontrarse en la propia integral de trayectoria.

En 4d, como dijiste en los comentarios, el problema se elude usando el superespacio N=1 más la simetría R apropiada, que giran los diferentes SUSY entre sí, asegurando que el SUSY completo esté allí. Para que la teoría sea SUSY, solo hay que comprobar que la teoría es N=1 y que la simetría R es buena. Esto suele ser manifiesto, ya que la simetría R es una simple rotación global de campos entre sí. Pero esto no funciona en 10 u 11 dimensiones.

Una parte de la respuesta sugerida por Qmechanic, la ecuación de Schwinger Dyson (ecuación de movimiento de Heisenberg) es obedecida por los operadores de campo, por lo que la variación realmente se desvanece como operador, en cierto sentido descrito precisamente a continuación. Pero esta no es una respuesta completa porque no es cierto que todo lo que se anula clásicamente cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento también se anula en la mecánica cuántica, en la integral de trayectoria. La razón es que las cantidades en la integral de trayectoria se pueden multiplicar en el mismo punto en el espacio y el tiempo, y hay singularidades de los productos de operadores coincidentes que hacen que las ingenuas ecuaciones de movimiento fallen exactamente en el tipo de expresiones que ocurren en la acción. .

Para un ejemplo trivial, considere el producto de dos operadores X

⟨ X (t) X (t^{'}) ⟩ = 0

$\langle x(t) x(t')\rangle = 0$

En la integral de trayectoria 1-d (mecánica cuántica, no teoría de campos) de partículas libres euclidianas triviales (movimiento browniano) $S= \int \dot{x}^2$ . El operador X obedece a la ecuación de movimiento $\ddot{X}=0$ , por lo que la segunda derivada es cero, pero, por supuesto, no está en el punto coincidente (o de lo contrario, el propagador desaparecería en todo momento con las condiciones de contorno razonables). La segunda derivada correcta de la función de correlación es

⟨ \ddot{X} (t) X (t^{'}) ⟩ = d (t - t^{'})

$\langle \ddot{x}(t) x(t')\rangle = \delta(t-t')$

La ecuación de movimiento se mantiene excepto en los puntos coincidentes. Lo mismo es cierto en las teorías de campo por la misma razón: el propagador se origina en el punto donde los dos operadores coinciden mediante una función delta con amplitud unitaria (si los campos están canónicamente normalizados).

Además, desde $\ddot{X}=0$ , se podría pensar que la siguiente transformación es una simetría

\dot{X} + ϵ F (t) \ddot{X}

$\dot x + \epsilon f(t)\ddot{X}$

Dado que la variación de S a primer orden en $\epsilon$ es $\int \dot{x}\ddot{x}f(t)$ . Tan ingenuamente, usando la ecuación de movimiento $\ddot{x}=0$ , encontrarías ingenuamente que esto es una simetría. Pero esto es una tontería obvia --- si f no es constante (si f es constante, la transformación es una traslación en el tiempo) esto obviamente no es una simetría de la acción. ya que es una traslación de tiempo por una cantidad diferente en tiempos diferentes, y hay una unidad de tiempo definida por la difusión.

La razón es que el $\ddot{x}$ se multiplica por un coincidente $\dot{x}$ , y cuando hay cantidades coincidentes, las ecuaciones de movimiento no se satisfacen necesariamente. La variación real en S es

\int F (t) \frac{d}{d t} \frac{{\dot{X}}^{2}}{2}

$\int f(t) {d\over dt} {\dot{x}^2\over 2}$

y ves que es una derivada perfecta si f es constante, asumiendo la convención de Stratonovich para derivadas temporales --- diferencias centradas --- y esta es la simetría de la traslación temporal en este caso), pero no es una simetría si f es no constante

¿Cuándo se satisfacen las ecuaciones de movimiento en una integral de trayectoria?

Cuando tienes una integral de camino:

\int {mi}^{i S} D ϕ

$\int e^{iS} D\phi$

La integral es invariante bajo un cambio de variables de integración $\phi(x)+\delta\phi(x)$ , dónde $\delta\phi$ es una función arbitraria de x, ya que cada integral es invariante en traslación por separado. No hay determinante para esta transformación --- es solo un cambio en la variable de integración por una constante en cada momento.

El cambio en el integrando cuando haces el cambio está dado por expandir la cosa a primer orden.

\int {mi}^{i S (ϕ + d ϕ)} D ϕ = \int {mi}^{i S} D ϕ + i \int (\int \frac{d S}{d ϕ (X)} d ϕ (X) d^{d} X) {mi}^{i S} D ϕ

$\int e^{iS(\phi+\delta\phi)} D\phi = \int e^{iS} D\phi + i\int (\int {\delta S\over \delta \phi(x)}\delta\phi(x) d^dx) e^{iS} D\phi$

y de esto, aprendes que las ecuaciones de movimiento están satisfechas. Esta es la demostración correcta de las ecuaciones de movimiento.

\frac{d S}{d ϕ} = 0

${\delta S\over \delta\phi} = 0$

Esta es la ecuación de movimiento para el $\phi$ solo campo, solo un campo. Ahora suponga que tiene algunas otras inserciones (operadores compuestos $O_k$ ):

\int O_{1} (X_{1}) O_{2} (X_{2}) . . . O_{norte} (X_{norte}) {mi}^{i S} D ϕ

$\int O_1(x_1) O_2(x_2) ... O_n(x_n) e^{iS} D\phi$

Ahora haciendo el mismo turno, a primer orden, encuentras

\int (O_{1} + d O_{1} (X_{1})) . . . (O_{norte} + d O_{norte} (X_{norte})) {mi}^{i S} (1 + i d S) D ϕ = \int {mi}^{i S} D ϕ

$\int (O_1 +\delta O_1(x_1)) ... (O_n+\delta O_n(x_n)) e^{iS} (1+i\delta S) D\phi = \int e^{iS} D\phi$

Entonces encuentras que la ecuación de movimiento para un campo $\phi$ se satisface incluso con inserciones de operadores compuestos excepto en puntos coincidentes:

- i \frac{d S}{d ϕ (X)} O_{1} (X_{1}) . . . O_{norte} (X_{norte}) = \frac{d O_{1} (X_{1})}{d ϕ (X)} O_{2} (X_{2}) . . . O_{norte} (X_{norte}) + O_{1} (X_{1}) \frac{d O_{2} (X_{2})}{d ϕ (X)} . . . O_{norte} (X_{norte}) + . . . + O_{1} (X_{1}) O_{2} (X_{2}) . . . O_{norte - 1} (X_{norte - 1}) \frac{d O_{norte} (X_{norte})}{d ϕ (X)} .

$-i\, {\delta S\over \delta \phi(x)} \, O_{1}(x_1) ... O_{n}(x_n) = {\delta O_1 (x_1)\over \delta \phi(x)} O_2(x_2) ... O_n(x_n) + O_1(x_1){\delta O_2(x_2)\over \delta\phi(x)}...O_n(x_n) + ... + O_1(x_1)O_2(x_2) ... O_{n-1}(x_{n-1}){\delta O_n(x_n)\over \delta \phi(x)}.$

Esta es la ecuación del operador para la ecuación de movimiento que multiplica expresiones arbitrarias de otros campos. La expresión se conoce como la ecuación de Schwinger-Dyson.

No solo es cierto como un valor esperado de vacío, porque se satisface independientemente de las condiciones de contorno de la integral de trayectoria, que no tienen que ser el vacío, y no es necesario hacer una integral de trayectoria desde el tiempo menos infinito hasta el tiempo infinito. , la identidad se mantiene en un estado arbitrario.

Este argumento de Schwinger-Dyson para inserciones de cualquier tipo con muchos campos dando vueltas implica las siguientes reglas para usar la ecuación de movimiento:

Las ecuaciones de movimiento derivadas de la variación $\phi$ se satisfacen como ecuaciones de operador fuera de las inserciones.
la ecuación de movimiento derivada de la variación $\phi$ se satisfacen incluso en inserciones cruzadas de otros campos fundamentales (integraciones de caminos independientes) que no sean $\phi$ .
las ecuaciones de movimiento fallan solo en las inserciones de operadores compuestos o elementales que varían cuando cambia el campo de cuya ecuación de movimiento está hablando, y la falla es del tipo de identidad de sala.

Así que no es cierto que todo lo que desaparece clásicamente no tenga efecto. Pero cuando tienes un producto de la ecuación de movimiento multiplicando funciones de campos que son diferentes de la que varías para obtener la ecuación de movimiento, estas siguen siendo idénticamente cero.

En el caso SUSY, su variación involucra productos de campos con sus socios SUSY, que son variables de integración independientes. Las ecuaciones de movimiento se satisfacen en los productos que reduce, por lo que está justificado usar las ecuaciones de movimiento en el cierre SUSY, pero lo verifica teoría por teoría a mano, observando qué ecuación de movimiento usa y cuál es. se está multiplicando.

La interpretación es que cuando haces la transformación SUSY, también tienes que deslizar los campos un poco de manera que se conserve la medida para terminar la transformación.

Me gustó tu respuesta, pero después de una segunda lectura me di cuenta de que la notación no tenía sentido o era confusa. Lo arreglé. Espero que no te moleste.
@drake: Al leer las correcciones, quiero asegurarme de que el punto principal de esto sea claro: la ecuación de movimiento obedece a una identidad de barrio con otras inserciones, de modo que el producto de la ecuación de movimiento phi por un operador es igual a cero lejos de la colisión, y es igual a la variación de ese operador bajo un cambio en phi en el punto de la colisión (veces una función delta). Entonces, el producto permanece igual a cero cuando los campos son variables independientes, o cuando tiene un operador compuesto que no varía cuando varía phi, que es el caso de los cierres SUSY.
Edité su respuesta nuevamente porque la última ecuación todavía era incorrecta, incluso dimensionalmente incorrecta, y no hay suficiente espacio en estos comentarios para insertar esa ecuación. Tiene toda la razón lo que dices, pero no la expresión. También debe decir, si no le gustan los valores esperados, que sus campos están en la imagen de Heisenberg.
Y la ecuación que acabo de escribir es la misma ecuación que escribí veces $\delta \phi_i$ y resumió $i$ (y sin kets).
Creo que no puede ver mi última edición (hace 6 horas) ya que no ha sido revisada por pares (?). En su última versión de la respuesta (hace aproximadamente 9 horas), el lado derecho de la última ecuación estaba mal porque faltaban campos en cada término. Entendí tu notación en el LHS $\delta S$ y en mi última edición lo definí. Gracias.
En mi primera edición, que fue totalmente correcta, esencialmente mejoré y limpié la notación, escribí valores esperados para ser consistentes con su ejemplo de mecánica cuántica (aunque su ausencia no es un error en absoluto), y corregí adecuadamente su última ecuación . Hice una segunda edición para cambiar nuevamente su última ecuación que estaba INCORRECTA y después de su edición sigue siendo INCORRECTA, incluso dimensionalmente INCORRECTA, y no puede o no quiere verla.
En este momento, estoy viendo mi segunda edición en la que en la parte superior dice: "¡Gracias por su edición! Esta edición será visible solo para usted hasta que sea revisada por pares". Sin embargo, debe ser tan presumido que no puede aceptar que está EQUIVOCADO y que hice una segunda edición aunque no pueda verla.
Pero entendí de dónde procedía la confusión --- pensaste que el $\phi_k$ 's eran otros campos fundamentales en el Lagrangiano --- no necesariamente (y la relación sería trivial entonces). los $\phi_k$ 's son solo operadores locales compuestos arbitrarios, y el lado derecho tiene la derivada variacional. Como aún no está claro para usted (y sabe lo que hace), cambié la notación y arreglé la "inconsistencia dimensional" (lo que solo significa que no le gustó que eliminé la estúpida función delta sin cambiar la notación para $\delta \phi$ , está bien arreglado)
Pero incluso en ese caso, ¿no es su última ecuación? ¿equivocado? ¿No te falta, por ejemplo, el primer término de la RHS $O_2(x_2)...O(x_n)$ y lo mismo en los demás términos? ¡¿En realidad?!
@drake: ¡Sí! Tienes razón, por supuesto, estúpido de mí. Acabo de notar esto también, lo siento.
¡¡Aleluya!! (No te preocupes) No revisaste las dimensiones de tu eq. en toda la discusión, ¿verdad?
@drake: cuando hice el ejemplo, me di cuenta de que me faltaban las otras O, también estaba dimensionalmente mal. Renuncio a las ediciones, el editor es increíblemente lento (cada pulsación de tecla tarda 10 segundos en registrarse, y el tiempo se hace cada vez más largo). El punto es: ecuación de movimiento para el $\phi$ campo, multiplicado por los otros operadores, solo es distinto de cero en las colisiones, donde la contribución es la variación de estos operadores bajo la variación de $\phi$ , lo hice de memoria, hice un lío de notación chapucera, pero realmente entiendo esto, y fue molesto que las correcciones cambiaran el significado.
@drake: Entiendo lo que dices, estoy de acuerdo contigo en la física, y el contenido que diste estuvo bien, aunque no está escrito de la manera o con el significado que pretendía. Lo siento por criticarte, me molesté. Gracias por hacer que la respuesta sea agradable y buena suerte.
Una trivialidad: siempre se puede exponenciar el determinante $\text{det}\, a=\exp{(\text{tr}\ln{a})}$ para que pueda considerarse parte de $\delta \mathcal {L}$ para que las ecuaciones funcionen como están escritas. Ahora me pregunto si una teoría cuántica puede tener una simetría que no tiene su límite clásico. Es decir, si el jacobiano en la medida integral de trayectoria puede compensar la variación en la acción clásica.
No es posible ya que el efectivo $\delta \mathcal L$ que viene del jacobiano no tiene parte real.
@drake: Sí, sé sobre la reexponenciación, no importa en el caso de la pregunta en la que solo está cambiando campos por otros campos independientes, ya que entonces el determinante es uno. El problema de la compensación es que la variación clásica es de orden 1, mientras que la variación determinante es de orden $\hbar$ , por lo que esto solo puede suceder si no hay un límite clásico. Tal vez modelos 2d tipo Gross-Neveu (cuatro Fermi), donde la bosonización puede revelar nueva simetría, pero en este caso tampoco va a ser una compensación determinante, sino una simetría que solo es evidente en una formulación.
@drake: Oh, ya veo lo que quieres decir con la parte real --- esto no es necesariamente fatal, también puedes transformar los campos con una i para que el determinante no sea real, pero quizás haya una redefinición de campo en partes reales e imaginarias para que se convierta en campos desplazados por campos independientes. Sí, es un problema. El lagrangiano se vuelve imaginario. ¿Pero quizás uno pueda verlo como una deformación suave para llegar a la mecánica cuántica PT? No sé.

qmecanico · Answer 2

¿Cómo podemos entender la presencia de simetría on-shell después de la cuantización desde el punto de vista de la integral de trayectoria?

Se puede derivar una ecuación de Schwinger-Dyson asociada con la conservación actual , también conocida como identidad de Ward; véase, por ejemplo, Peskin y Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Sección 9.6; o Srednicki, Quantum Field Theory , Capítulo 22.

No tengo acceso al libro. ¿Cómo se deriva usando la integral de trayectoria si la simetría solo existe en la capa?
@Squark: El libro de Srednicki (con algunos pequeños cambios) está disponible en su página web .
Bien, ¿y dónde está la respuesta a mi pregunta en el libro de Srednicki? De hecho, me parece que no va más allá de la supersimetría N=1 4D
Interpreté la pregunta (v1) como una pregunta sobre la simetría en el caparazón en términos generales, cf. el título (v1). Las referencias no tienen ninguna mención específica de $N=4$ supersimetría 4D.
ESTÁ BIEN. Entonces, ¿Peskin y Schroeder tienen un tratamiento de la simetría en el caparazón en términos generales? ¿Qué ejemplo consideran si no es la supersimetría? Además, todavía no tengo acceso al libro.

Diego Mazón · Answer 3

Análogo teórico de campo cuántico de las ecuaciones clásicas de movimiento (EOM):

- i d S (X) ϕ_{1} (X_{1}) . . . ϕ_{norte} (X_{norte}) = \sum_{j = 1}^{norte} ϕ_{1} (X_{1}) . . . d ϕ_{j} (X) d (X - X_{j}) . . . ϕ_{norte} (X_{norte}) = d ϕ_{1} (X_{1}) d (X - X_{1}) ϕ_{2} (X_{2}) . . . ϕ_{norte} (X_{norte}) + ϕ_{1} (X_{1}) d ϕ_{2} (X_{2}) d (X - X_{2}) ϕ_{3} (X_{3}) . . . ϕ_{norte} (X_{norte}) + . . . + ϕ_{1} (X_{1}) . . . ϕ_{norte - 1} (X_{norte - 1}) d ϕ_{norte} (X_{norte}) d (X - X_{norte})

$-i\, \delta S (x)\, \phi_{1}(x_1) ... \phi_{n}(x_n) = \sum _{j=1}^n \phi_{1}(x_1)... \delta \phi_j (x)\delta(x-x_j)... \phi_{n}(x_n)= \delta\phi_{1}(x_1)\delta(x-x_1)\phi_2(x_2)... \phi_{n}(x_n)+\phi_1(x_1)\delta\phi_2(x_2)\delta(x-x_2)\phi_3(x_3)...\phi_n(x_n)+...+\phi_1(x_1)...\phi_{n-1}(x_{n-1})\delta\phi_n(x_n)\delta(x-x_n)$ dónde

d S \equiv \sum_{i = 1}^{norte} \frac{d S}{d ϕ_{i} (X)} d ϕ_{i} (X)

$\delta S\equiv \sum_{i=1}^n{\delta S\over \delta \phi_{i} (x)}\delta \phi_i(x)$ eso es,

\frac{d S}{d ϕ_{i} (X)}

${\delta S\over \delta \phi_{i} (x)}$ es la MOE de Euler-Lagrange para el campo

ϕ_{i} (x)

$\phi_{i} (x)$ . Respuesta al comentario: En caso de tener operadores locales

O_{i} (x_{i})

$O_i (x_i)$ , esta es la ecuación:

- i \frac{d S (X)}{d ϕ (X)} O_{1} (X_{1}) . . . O_{norte} (X_{norte}) = \frac{d O_{1} (X_{1})}{d ϕ (X)} O_{2} (X_{2}) . . . O_{norte} (X_{norte}) + . . . + O_{1} (X_{1}) . . . O_{norte - 1} (X_{norte - 1}) \frac{d O_{norte} (X_{norte})}{d ϕ (X)}

$-i\, {\delta S (x)\over \delta\phi (x)} O_{1}(x_1) ... O_{n}(x_n) = {\delta O_{1}(x_1)\over \delta \phi(x)}O_2(x_2)... O_{n}(x_n)+...+O_1(x_1)...O_{n-1}(x_{n-1}){\delta O_n(x_n) \over \delta \phi (x)}$

Si bien lo que escribe es la ecuación de Schwinger Dyson tal como aparece en Wikipedia, a saber $\langle {\delta S\over\delta\phi}O\rangle = \langle {\delta O \over \delta \phi}\rangle$ , trivialmente equivalente a mi respuesta, leí los artículos originales de Schwinger y Dyson, y mucha literatura relacionada, y por favor, para mi cordura, ¿podría decirme quién escribe esto primero? Tuve que inventarlo yo mismo, y ni siquiera sabía que se llamaba ecuación de Schwinger Dyson, SD era la más simple $\langle {\delta S\over \delta \phi} \rangle=0$ en todas las fuentes que he leído. Tuve que volver a derivarlo yo mismo.
No estoy reclamando originalidad, pero quiero saber quién escribe esto, porque simplemente no aparece comúnmente, pero aparece en Wikipedia. No es la identidad de Ward (aunque la derivación es casi idéntica), es otra cosa, que involucra la cuestión de la ecuación del movimiento por los operadores locales, y esto es algo que me confundió mucho durante años hasta que lo descubrí. ¿Está en un libro de texto? Revisé algunos ahora mismo y no lo encontré. ¿Está en algún artículo de revisión?
Una vez que uno se da cuenta ${\delta S\over \delta \phi_i}\delta\phi _i=\delta \mathcal{L}+\partial_{\mu}J^{\mu}$ , la identidad de Ward se sigue trivialmente de Schwinger-Dyson, y recíprocamente. No sé quién fue el primero, diría que fue Schwinger, pero no estoy seguro. ${\delta S\over \delta \phi}=0$ (en la imagen de Heisenberg) es el teorema de Ehrenfest. Creo que Schwinger-Dyson está en la mayoría de los libros bajo el nombre de Schwinger-Dyson, Dyson (en libros orientados a la materia condensada) o Ward. Me sorprendería si no está en Itzykson, Weinberg o Bogoliubov, por ejemplo. @RonMaimon
La identidad de Ward está haciendo una transformación de simetría infinitesimal, eso es lo que $\delta \phi_i$ están en su comentario, mientras que la identidad que derivé está haciendo un cambio de campo $\phi$ (no es una simetría). En artículos y libros, siempre derivan la ecuación de Dyson de Schwinger como la ecuación del operador ${\delta S\over \delta \phi} =0$ , dónde $S = \int L(\phi) + J \phi$ , incluido un término fuente J, y esto es suficiente para derivar la teoría de la perturbación (como los artículos de Schwinger/Dyson), pero no es suficiente para decir exactamente cuándo funciona la ecuación de movimiento con una inserción coincidente.
Por qué estoy desconcertado: la identidad de Ward es un tipo especial de ecuación de Schwinger Dyson, para cambiar los campos por una simetría, mientras que la ecuación de la identidad de movimiento es solo para cambiar los campos. La identidad de la ecuación del movimiento por un operador local es lo que nunca vi en los libros, así que tuve que hacerlo yo mismo. Veo las transformaciones involucradas, son similares pero no iguales. Confío en su palabra de que esto se llama "ecuación de Schwinger Dyson", pero me pregunto por qué nunca vi la identidad de ${\delta S\over \delta\phi}O$ en cualquier lugar (leo los libros que me diste, no). Sohnius tampoco.
He visto a un millón de personas hacer esta pregunta sobre el cierre SUSY, por qué está justificado usar ecuaciones de movimiento. He visto a personas dar respuestas simplistas o incorrectas, o afirmar que es una identidad de Ward. Pero nunca vi la respuesta real que tienes arriba, no esta identidad. La derivación de la identidad de Ward y la ecuación de Schwinger Dyson con inserciones coincidentes son exactamente las mismas, pero la transformación del campo es de un tipo diferente. Por eso pido una fuente, porque revisé si aparece en los artículos de Schwinger y Dyson, no, y en 6 reseñas, no. Allí SD es solo Eherenfest/Heisenberg.
@RonMaimon. En la primera identidad que escribí en mi comentario anterior, $\delta \phi$ es una transformación general y $J^{\mu}$ es la corriente "formal" de Noether (ver la identidad). En el caso particular de una simetría $\delta \mathcal{L}$ es cero o una derivada total que se puede incluir en la corriente. Con esto, Ward es lo mismo que Schwinger-Dyson. Y estoy (casi) seguro de que esos libros hablan sobre el contacto o los términos de Schwinger más o menos explícitamente.
¡Excelente! Gracias. Lo tengo. Lo actual formal es la idea que me faltaba.
¡Vaya! Todo lo que estamos escribiendo en esta pregunta obviamente asume que la medida es invariante. De lo contrario, se tendría un término adicional proveniente del determinante. Creo que estamos de acuerdo.
Su fórmula de identidad de Ward no es realmente general. ¿Cuál debe ser la identidad de Ward para la transformación formal en $S = \int |\partial \phi|^2 + |\partial \eta|^2 + \phi^2 \eta^2 d^4x$ bajo la transformación formal de no simetría $\delta \phi = \epsilon \phi \eta$ , $\delta \eta = - \epsilon \eta$ ? La razón por la que pregunto es porque la fórmula general es falsa para este caso, ya que la transformación no es un cambio de campo, sino un cambio de campo dependiente del valor del campo. entonces hay un determinante en la medida.
@RonMaimon Escribí la respuesta antes de que hagas la pregunta... es broma
Sí, estamos de acuerdo... (Edité el comentario demasiado tarde, ¡por lo tanto, viaje en el tiempo!)
Si desea continuar con esta discusión, hágalo en una nueva sala de Physics Chat . Gracias.

usuario20602 · Answer 4

En primer lugar, hay un error en la ecuación de Schwinger-Dyson que se derivó en la publicación anterior. Habrá n-1 campos en el lado derecho. En cualquier caso, las ecuaciones SD no lo salvan porque la supercorriente tiene campos ubicados en el mismo punto, por lo que estos términos de contacto intervienen y estropean las ecuaciones de movimiento. Es decir, obtienes la ecuación de movimiento cuando derivas la supercorriente, pero se multiplica por campos en los mismos puntos, por lo que entran todas estas funciones delta. Pruébalo en casa, verás lo que quiero decir.

¿Quizás podría ejecutar un cálculo simple para mostrarle a la gente lo que quiere decir?

Simetría en capa desde el punto de vista de la integral de trayectoria

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Motl de Luboš

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usuario9744

Ron Maimón

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Ron Maimón

¿Cuándo se satisfacen las ecuaciones de movimiento en una integral de trayectoria?

Diego Mazón

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