¿Estadística cuántica a partir de las relaciones de (anti)conmutación de los operadores?

Para una sola especie de bosón/fermión sin interacciones, el hamiltoniano es

$$\begin{align} H &=\sum_k \omega_k a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ H &=\sum_k \omega_k c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{1} \end{align}$$ con $$\begin{align} a_ia_j - a_j a_i = 0 \hskip1cm a_ia_j^\dagger - a_j^\dagger a_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_ic_j + c_j c_i = 0 \hskip1cm c_ic_j^\dagger + c_j^\dagger c_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{2} \end{align}$$ El estado de vacío$|0\rangle$, con cero partículas, satisface $$\begin{align} a_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{3} \end{align}$$ para todos los modos$k$. Cada aplicación de$a_k^\dagger$o$c_k^\dagger$al estado de vacío crea una partícula en modo$k$. El operador $$\begin{align} N_k &= a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k &= c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{4} \end{align}$$ cuenta el número de partículas en el$k$-mo modo, porque un estado$|\psi\rangle$que satisface $$N_k|\psi\rangle=n_k|\psi\rangle \tag{5}$$ tiene$n_k$partículas en el$k$-mo modo. Para ver esto, use las ecuaciones (2) para deducir $$\begin{align} N_k a_j^\dagger &= a_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k c_j^\dagger &= c_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{5b} \end{align}$$ Un estado que satisface $$H|\psi\rangle=E_\psi|\psi\rangle \tag{6}$$ tiene energía total$E_\psi$.

El adjunto de la ecuación inferior izquierda en (2) implica$(c_k^\dagger)^2=0$, entonces$n_k\in\{0,1\}$por fermiones. La versión bosónica de la ecuación (2) no impone tal restricción, por lo que$n_k\in\{0,1,2,3,...\}$para bosones.

Así es como se usa esto en la mecánica estadística. Si el sistema bosón/fermión está en equilibrio térmico con algún otro sistema (no modelado), entonces el valor esperado de cualquier observable$X$asociado con el sistema bosón/fermión es

$$\rho(X) = \frac{1}{Z}\sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \frac{\langle \psi|X|\psi\rangle}{ \langle \psi|\psi\rangle} \hskip2cm Z\equiv \sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \tag{7}$$ donde la suma es sobre estados que satisfacen (6). Para los fotones, la suma de todos los estados satisface (6). Para un sistema de bosones de materia (o fermiones), la suma generalmente se restringe a estados con un número total dado de partículas.

Las distribuciones de Bose-Einsten y Fermi-Dirac se obtienen usando (7) para calcular$\rho(N_k)$, el número de ocupación promedio en un modo dado. Este cálculo se puede hacer usando la identidad del operador

$$H = \sum_k\omega_k N_k \tag{8}$$ Llegar $$E_\psi = \sum_k\omega_k n_k, \tag{9}$$ dónde$E_\psi$y$n_k$se definen mediante las ecuaciones (5)-(6). Use esto en (7) para obtener $$\rho(N_k) = \frac{\sum_\psi e^{-\beta E_\psi}n_k}{ \sum_\psi e^{-\beta E_\psi}} \tag{10}$$ que también se puede escribir $$\rho(N_k) = -\beta^{-1}\frac{\partial}{\partial\omega_k} \log Z \tag{11}$$ con la función de partición$Z$definido en (7) considerado como una función de los coeficientes de energía$\omega_k$.

Las derivaciones de las distribuciones de Bose-Einsten y Fermi-Dirac en libros típicos de mecánica estadística, como el capítulo 9 de Statistical and Thermal Physics de Reif , comienzan con estos ingredientes:

• ecuaciones (9) y (11), que son ecuaciones (9.2.1) y (9.2.5) en Reif, respectivamente;

• el hecho de que$n_k$no tiene restricciones para los bosones y está restringida para$n_k\in\{0,1\}$para fermiones (debido a la ecuación (2), como se mencionó anteriormente), que son las ecuaciones (9.2.13) y (9.2.15) en Reif;

• la restricción (si la hay) sobre el número total de partículas$\sum_k n_k$, que es la ecuación (9.2.14) y (9.2.16) en Reif. Esta restricción conduce al "potencial químico", generalmente denotado$\mu$.

La derivación a partir de este punto es estándar, por lo que no la repetiré aquí.