Condiciones de contorno debidas a difeomorfismos locales y globales

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Condiciones de contorno debidas a difeomorfismos locales y globales

anuncios-cft
Física
relatividad general
condiciones de borde
anti-de-sitter-espacio-tiempo
difeomorfismo-invariancia

de pesadilla

Considere el siguiente extracto de la página 2 de este documento .

$AdS_3$ es el $SL(2, \mathbb{R})$ múltiple del grupo y, en consecuencia, tiene un $SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ grupo de isometría. Para definir la teoría cuántica sobre $AdS_3$ , debemos especificar las condiciones de contorno en el infinito. Estos deben estar lo suficientemente relajados para permitir excitaciones de masa finita y la acción de $SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ , pero lo suficientemente apretado como para permitir una acción bien definida del grupo de difeomorfismo.

$SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ codifica transformaciones globales de $AdS_{3}$ :

Estas transformaciones transforman un estado físico en un estado físico diferente.
Estas transformaciones alcanzan el infinito.

Difeomorfismos espaciotemporales locales de $AdS_{3}$ codificar transformaciones de calibre de $AdS_{3}$ :

Estas transformaciones transforman un estado físico en sí mismo.
Estas transformaciones no alcanzan el infinito.

¿Por qué las condiciones de contorno en un espacio-tiempo deben relajarse lo suficiente para permitir la acción de transformaciones globales, pero lo suficientemente estrictas para permitir una acción bien definida del grupo de difeomorfismo local?

Sé que las transformaciones globales y el grupo de difeomorfismos están definitivamente en tensión, pero no entiendo qué significan las palabras lo suficientemente relajado , lo suficientemente apretado y bien definido .

una mente curiosa

Hay varias cosas mal/poco claras con el extracto: Si bien ambos

{A d S}_{3}

$\mathrm{AdS}_3$ y

S L (2, R)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ son homeomorfos a

R^{2} \times S^{1}

$\mathbb{R}^2\times S^1$ , la estructura de grupo natural en este último (suma en las dos primeras coordenadas, multiplicación en el círculo) no es la estructura de grupo de

S L (2, R)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ y AdS no tiene una estructura de grupo, por lo que no está claro cómo se supone que el primero es el "grupo múltiple" del segundo. ¿Por qué eso llevaría a que el "grupo de isometría" sea dos copias de

S L (2)

$\mathrm{SL}(2)$ ?

S L (2)

$\mathrm{SL}(2)$ ni siquiera lleva una métrica a priori!

de pesadilla

El documento probablemente no sea claro (no puede estar equivocado; este extracto se tomó de una sección del documento que revisa la carga central de Brown-Henneaux; este es un descubrimiento seminal y fue importante para el descubrimiento de AdS/CFT). Este artículo de Strominger es en sí mismo un artículo innovador en la entropía de los agujeros negros, así como en sus microestados, y relaciona el crecimiento asintótico de los estados de Cardy con la entropía BTZ). El capítulo 1 de esta tesis, staff.fnwi.uva.nl/j.deboer/education/projects/projects/… , revisa temas relevantes.

danu

@nightmarish Y eso sería... ¿una prueba por autoridad? ;-) Más en serio, es definitivamente cierto que este extracto del documento es increíblemente impreciso y poco claro en el mejor de los casos, desde un punto de vista matemático. Eso no invalida necesariamente el análisis físico del resto del artículo, ni tampoco significa que el autor no sepa de qué está hablando. Probablemente solo signifique que no le importa ser matemáticamente preciso (¡y eso está bien! Aunque no me gusta).

danu

@ACuriousMind Solo lluvia de ideas: creo que a los físicos les gusta poner implícitamente métricas bi-invariantes en sus grupos de Lie, y luego obtienen un (sub)grupo de isometría

G_{L} \times G_{R}

$G_L\times G_R$ , con las etiquetas que indican de qué lado se supone que debes actuar. Así que en ese sentido al menos

S L (2, R)

$SL(2,\Bbb R)$ tiene estas isometrías y entonces uno puede declarar el homeomorfismo a

A d S_{3}

$AdS_3$ para ser un difeomorfismo isométrico, supongo...

de pesadilla

@CuriousMind Ahora que lo pienso, encuentro que la revisión de la carga central de Brown-Henneaux está mal escrita. Gracias por mencionarlo.

Respuestas (1)

Condiciones de contorno debidas a difeomorfismos locales y globales

Hay varias cosas mal/poco claras con el extracto: Si bien ambos $\mathrm{AdS}_3$ y $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ son homeomorfos a $\mathbb{R}^2\times S^1$ , la estructura de grupo natural en este último (suma en las dos primeras coordenadas, multiplicación en el círculo) no es la estructura de grupo de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ y AdS no tiene una estructura de grupo, por lo que no está claro cómo se supone que el primero es el "grupo múltiple" del segundo. ¿Por qué eso llevaría a que el "grupo de isometría" sea dos copias de $\mathrm{SL}(2)$ ? $\mathrm{SL}(2)$ ni siquiera lleva una métrica a priori!
El documento probablemente no sea claro (no puede estar equivocado; este extracto se tomó de una sección del documento que revisa la carga central de Brown-Henneaux; este es un descubrimiento seminal y fue importante para el descubrimiento de AdS/CFT). Este artículo de Strominger es en sí mismo un artículo innovador en la entropía de los agujeros negros, así como en sus microestados, y relaciona el crecimiento asintótico de los estados de Cardy con la entropía BTZ). El capítulo 1 de esta tesis, staff.fnwi.uva.nl/j.deboer/education/projects/projects/… , revisa temas relevantes.
@nightmarish Y eso sería... ¿una prueba por autoridad? ;-) Más en serio, es definitivamente cierto que este extracto del documento es increíblemente impreciso y poco claro en el mejor de los casos, desde un punto de vista matemático. Eso no invalida necesariamente el análisis físico del resto del artículo, ni tampoco significa que el autor no sepa de qué está hablando. Probablemente solo signifique que no le importa ser matemáticamente preciso (¡y eso está bien! Aunque no me gusta).
@ACuriousMind Solo lluvia de ideas: creo que a los físicos les gusta poner implícitamente métricas bi-invariantes en sus grupos de Lie, y luego obtienen un (sub)grupo de isometría $G_L\times G_R$ , con las etiquetas que indican de qué lado se supone que debes actuar. Así que en ese sentido al menos $SL(2,\Bbb R)$ tiene estas isometrías y entonces uno puede declarar el homeomorfismo a $AdS_3$ para ser un difeomorfismo isométrico, supongo...
@CuriousMind Ahora que lo pienso, encuentro que la revisión de la carga central de Brown-Henneaux está mal escrita. Gracias por mencionarlo.

qmecanico · Answer 1

Por "condiciones de contorno" (BC) en la configuración de AdS/CFT (o equivalente en la configuración de Graham-Fefferman ), no nos referimos a condiciones de contorno EN el contorno $r=\infty$ , sino más bien condiciones de caída CERCA del límite $r\to\infty$ . En el lado GR , se deben especificar las condiciones de caída en la métrica $g_{\mu\nu}$ . Los BC reales suelen ser el resultado de cálculos algo desordenados.

Los BC deberían para empezar:

estar lo suficientemente relajado para permitir la acción grupal de transformaciones de simetría asintótica global y excitaciones de masa finita, por ejemplo, múltiples estrellas y agujeros negros, porque queremos que el modelo pueda acomodar y describir estos.
ser lo suficientemente apretado (es decir, caída lo suficientemente rápido para $r\to\infty$ ) para la integral de acción de Einstein-Hilbert $S_{EH}[g]$ de las métricas permitidas $g_{\mu\nu}$ estar bien definido con un valor finito, posiblemente después de la renormalización.
ser consecuente con la EFE .

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danu

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