Encontrar superpotenciales y cargos centrales en AdS3AdS3AdS_3

En el texto " Teoría covariante de simetrías asintóticas, leyes de conservación y cargas centrales " se da un ejemplo de encontrar cargas centrales y superpotenciales (entre otras cosas).

Estoy interesado en$AdS_3$caso, dado que hay mucha literatura sobre este espacio-tiempo, y voy a necesitar realizar el mismo análisis para la métrica Kerr extrema cercana al horizonte (NHEK) de 4 dimensiones, así que me gustaría saber cómo hacerlo. en un caso más sencillo.

En un ejemplo dado, en la página 48, después de especificar las condiciones de contorno, continúan para encontrar la parte lineal de$\delta[(1/16\pi)\sqrt{-g}(R-2\Lambda)/\delta g_{\mu\nu}]$, que es, según tengo entendido, una especie de variación del lagrangiano.

La fórmula está dada:

$\mathcal{H}^{\mu\nu}[h;\bar{g}]:=\frac{\sqrt{-g}}{32\pi}\left[-h\bar{R}^{\mu\nu}+\frac{1}{2}h\bar{R}\bar{g}^{\mu\nu}+2h^{\mu\alpha}\bar{R}_\alpha^\nu+2h^{\nu\beta}\bar{R}_\beta^\mu-h^{\mu\nu}\bar{R}-h^{\alpha\beta}\bar{R}_{\alpha\beta}\bar{g}^{\mu\nu}+\bar{D}^\mu\bar{D}^\nu h+\bar{D}^\lambda\bar{D}_\lambda h^{\mu\nu}-2\bar{D}_\lambda\bar{D}^{(\mu}h^{\nu)\lambda}-\bar{g}^{\mu\nu}(\bar{D}^\lambda\bar{D}_\lambda h-\bar{D}_\lambda\bar{D}_\rho h^{\rho\lambda})+2\Lambda h^{\mu\nu}-\Lambda \bar{g}^{\mu\nu}h\right]$

También tengo la métrica de fondo ($\bar{g}_{\mu\nu}$) que es la de$AdS_3$,$\bar{D}$es derivada covariante,$h$es traza, dada por$h=\bar{g}^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$. Se conocen el tensor y el escalar de Ricci.

Ahora, lo que me confunde es: ¿cómo obtuvieron los resultados (por ejemplo$\mathcal{H}^{tt}\to\mathcal{O}(r^-{3})$)? No entiendo esto, ya que solo dan las condiciones de contorno como órdenes principales en$r$($h_{\mu\nu}\to \mathcal{O}(r^{m})$,$m\in\mathbb{Z}$). Puedo subir y bajar índices, sé cómo sumar y puedo averiguar qué términos deben estar presentes en esta expresión.

Pero, ¿cómo realizo el cálculo con$\mathcal{O}$¿notación?

He estado desconcertado por esto cada vez que leo artículos similares. Todos hacen estos cálculos, pero no puedo encontrar un solo ejemplo donde se explique todo en detalle :\

Así que cualquier ayuda para aclarar esto es bienvenida. Algún libro de matemáticas que explique esto o algo...