Rol del conjunto canónico y carga eléctrica en AdS/CFT

Esta pregunta toca algunas cuestiones conceptuales muy interesantes en AdS/CFT que a menudo se omiten en las presentaciones del diccionario holográfico. Entonces, ¿cuál es la historia habitual del diccionario holográfico (considerando primero un escalar libre en el entorno euclidiano por simplicidad primero)

1. Hay un campo escalar a granel con una ecuación de movimiento.$(\Box-m^2)\phi=0$, dónde$\Box$es el operador de d'Alembert en el espacio-tiempo de fondo dado.
2. El escalar se puede expandir cerca del límite $$\phi=z^{\Delta_-}(\phi_{0}+ \phi_{2}z^{2}+\ldots+\phi_{d} z^{d}\log z+\ldots)+z^{\Delta_+}(\psi_{d}+\psi_{d+2}z^{\Delta_++2}+\ldots)$$ donde el$\log$-término sólo aparece si el$\Delta_+$y$\Delta_-$difieren por un número entero. uno obtiene$\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}$y$\phi_0$y$\psi_d$son los únicos coeficientes independientes que reflejan el hecho de que tenemos una ecuación de movimiento de segundo orden. Todos los demás coeficientes se encuentran al resolver las ecuaciones de movimiento perturbativamente.
3. La solución a la ecuación de movimiento se vuelve a conectar a la acción y, después de tratar los problemas de regularización, se obtiene un funcional que es una integral de frontera. Esta integral de frontera se interpreta como la funcional generadora de correladores en la CFT dual donde$\phi_0$es la fuente de un operador escalar$\mathcal{O}$, llamado operador dual, es decir $$\langle e^{-\int d^dx \phi_0\mathcal{O}}\rangle_{\text{CFT}}=e^{-S_{\text{on-shell}}\left[\phi|_{\partial}=\phi_0\right]}.$$ Hasta la normalización se encuentra$\langle\mathcal{O}\rangle\propto\psi_d$.
4. El mapa$x^\mu\to x'{}^\mu =\lambda x^\mu$,$z\to z'= \lambda z$es una isometría de la métrica de AdS $$ds^2=\frac{1}{z^2}\left(\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu+dz^2\right)$$ bajo el cual el escalar masivo se transforma como$\phi'(x')=\phi(x)$. En el límite, z=0, esta isometría se convierte en una dilatación (que no es una isometría de la métrica de Minkowski) y a partir de la expansión del escalar anterior se puede ver que el escalar transformado es$\phi_0{}'=\lambda^{-\Delta_-}\phi_0$. Por el acoplamiento$\int d^dx \phi_0\mathcal{O}$por lo tanto podemos ver que$\mathcal{O}$tiene dimensión de escala$\Delta_+=d-\Delta_-$.

Para resumir: En la expansión del escalar cerca de la frontera hay dos modos independientes. El modo principal se interpreta como la fuente del operador dual en la CFT y se encuentra que la función de un punto del operador está dada por el modo subdirigente.

Ahora, ¿por qué estoy repitiendo esta historia tan conocida? Porque bajo algunas circunstancias, existe una alternativa al procedimiento descrito, a saber$\phi_0$y$\psi_d$puede cambiar los roles. Esto fue explorado por primera vez por Klebanov & Witten . Describen que existe un límite en las dimensiones de escala de los operadores escalares en la teoría de campos, que viene dado por$\Delta>\frac{d-2}{2}$y se requiere por unitaridad. Ahora, la fórmula$\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}$requiere$\Delta_+>\frac{d}{2}$y$\Delta_-<\frac{d}{2}$, asi que$\Delta_+$siempre está por encima del límite de unitaridad sin importar la masa$m$es y he visto que$\Delta_+$resultó ser la dimensión de escala de$\mathcal{O}$en el procedimiento anterior, por lo que esto es consistente. Sin embargo, en un pequeño rango del parámetro de masa$m$, por encima del límite Breitenlohner-Freedman$m^2>-\frac{d}{2}$, pero con$m^2<-\frac{d}{2}+1$, además$\Delta_->\frac{d-2}{2}$! Así que también se puede suponer que$\psi_d$se supone que es la fuente de un operador escalar, que luego resulta tener una dimensión de escala$\Delta_->\frac{d-2}{2}$, es decir, por encima del límite de unitaridad.

Ahora, comenzamos a hacer conexión con la pregunta original. Si se considera un campo de norma$A$en la mayor parte en lugar de un escalar, que no tiene masa ya que un término de masa rompe la invariancia de calibre, nos encontraremos con la misma ambigüedad. Podemos marcar el modo líder como fuente y encontrar que el modo sublíder determina la función de un punto del operador dual o al revés. El operador dual de un campo de calibre es una corriente conservada$J^\mu$cuyo$t$-componente es la densidad de carga de la carga conservada asociada, es decir, la expansión de la$t$-componente del campo de calibre a granel se verá como

$$A^t=\mu(z^{\Delta_-}+\ldots)+\langle J^t\rangle(z^{\Delta_+}+\ldots).$$ Debido a la ambigüedad de cuál de los dos modos elegimos marcar como fuente y cuál queremos leer como respuesta a esta marcación, podemos forzar el potencial químico o la densidad de carga para que tengan un cierto valor, y por lo tanto, considere el gran canónico o el conjunto canónico. Por lo tanto, es nuestra libre elección trabajar en el conjunto canónico o en el gran conjunto canónico en la teoría de campos . El potencial químico y la densidad de carga juegan el mismo papel en ambos casos, es solo la pregunta cuál se fija a mano y cuál responde dinámicamente, de modo que podamos calcular su valor esperado a través del diccionario.