Normalmente (para fermiones y escalares) podemos simplemente usar la descomposición de productos tensoriales de representaciones de grupos de calibre para encontrar términos invariantes que podamos escribir en el Lagrangiano.
Por ejemplo para fermiones que viven en alguna representación de un grupo de calibre dado , podemos calcular
dónde , indican algunas otras representaciones del grupo de indicadores.
La suma del lado derecho normalmente no contiene el representación dimensional, porque eso significaría que se permiten términos de masa desnudos para fermiones. (En otras palabras, podemos obtener algo invariante de calibre usando solo los fermiones). un término como siempre contiene el representación dimensional, pero está prohibido por la invariancia de Lorentz.
Sin embargo, podemos usar la suma del lado derecho para determinar qué representaciones de Higgs se pueden usar para generar términos de masa para los fermiones después de la ruptura de simetría. Por ejemplo, si algunos campos de Higgs viven en , podemos escribir
Además, podemos usar una descomposición como esta para escribir el potencial de Higgs. Por ejemplo, si además de Campos de Higgs en la representación. existe podemos ver desde
que tal término está permitido por la invariancia de calibre.
Se dice que los bosones viven en la representación adjunta , pero de acuerdo con esta respuesta para no transformarse de acuerdo con ninguna representación del grupo de indicadores.
Pero entonces, ¿cómo podemos determinar qué términos que involucran bosones de calibre están permitidos en el Lagrangiano?
¿Cómo podemos asegurarnos de que, por ejemplo, un término cinético de calibre para los campos de Higgs que viven en alguna representación
es en realidad calibre invariante, si no es suficiente comprobar como se describe anteriormente que podemos obtener un representación dimensional del producto tensorial porque los grupos de calibre realmente no se transforman de acuerdo con el representante adjunto?
(Por supuesto, es posible hacer todo por fuerza bruta utilizando las leyes de transformación habituales, pero para algunos grupos de calibre grande, esta es una tarea casi imposible)
Debemos distinguir entre el grupo calibre , estereotípicamente el grupo Lie , y el grupo de transformaciones de norma , que son todos -Valoran las funciones suaves del espacio-tiempo.
No hay problema si solo escribe cantidades que se transforman en representaciones adecuadas del grupo de transformaciones de calibre . La única regla que debe obedecer para eso es no escribir campos de calibre "desnudos", solo utilícelos dentro de derivados covariantes o en el tensor de intensidad de campo. ¿Por qué?
Si se transforma en una representación lineal del grupo de transformaciones de calibre, al igual que su derivada covariante .
El tensor de intensidad de campo se transforma en el adjunto del grupo de transformaciones de calibre, incluso si los campos de calibre no lo hacen .
Conseguir transformar en una representación adecuada no es difícil: cada campo (¡excepto o el campo de calibre!) que se transforma en una representación de como se puede hacer para transformar en la representación correspondiente de como sin más problemas.
Por lo tanto, si se abstiene de usar el campo de indicador "desnudo", no hay ningún problema en determinar qué términos son invariantes y cuáles no son solo de sus propiedades teóricas grupales. Esta es esencialmente la razón por la cual el potencial de calibre en sí mismo no es observable, no solo no es invariante de calibre , ¡ni siquiera es covariante de una manera agradable!
(Esto no debería ser realmente sorprendente: el campo de indicador se introduce para cancelar los términos desagradables (los derivados de) en los que incurren otros campos al transformarse bajo , y esa fealdad simplemente no se ha ido, sino que está escondida en el campo del indicador)