Acoplamiento no mínimo de los campos de calibre a la materia.

Primero, tenga en cuenta que su término está contenido implícitamente en una expresión para el proceso en el shell$e \gamma\to e$a nivel de árbol (con momentos$p, q \equiv p - k,k$correspondientemente), donde$\gamma$corresponde formalmente al campo externo$A_{\mu}$:

$$\tag 1 M_{e\gamma\to e} \sim \bar{u}(p)\gamma_{\mu}u(k)A^{\mu}(q) \equiv \bar{u}(p)\left(\frac{(p+k)_{\mu}}{2m_{e}} - \frac{i\sigma_{\mu\nu}}{2m}(p-k)^{\nu}\right)u(k)A^{\mu}(q)$$ Aquí $u$se llama vector de polarización del espinor, y $\sigma_{\mu\nu} \equiv \frac{i}{2}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]$. Vemos que Tu término es el segundo sumando de $(1)$.

En segundo lugar, tenga en cuenta que las correcciones de bucle para procesar$e\gamma \to e$generar factores de forma$F_{1}((p-k)^2)$y$F_{2}((p-k)^{2})$cerca del primer y segundo sumando en$(1)$. La segunda viene explícitamente, cuando introducimos la interacción efectiva$~\sim\bar{\psi}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]\psi$en el lagrangiano, que es precisamente Tu término. Por lo tanto, su término no trae nuevos efectos fundamentales, solo correcciones a los efectos conocidos a nivel de árbol.

Entonces, asumamos el sentido físico de Tu acoplamiento al tratar el segundo sumando en$(1)$. A continuación usaré la representación de matrices gamma, para lo cual

$$\gamma_{\mu} \equiv \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu} \\ \tilde{\sigma}_{\mu} & 0\end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = (1,\sigma), \quad \tilde{\sigma}_{\mu} = (1,-\sigma)$$ Primero, es muy atractivo estudiar la aproximación no relativista, donde $s$-ésima polarización $u_{s}$(con $\epsilon_{s}$siendo girado hacia arriba por vectores propios) es $$\tag 2 u_{s}(p)\approx \begin{pmatrix}\sqrt{\sigma \cdot p}\epsilon_{s} \\ \sqrt{\tilde{\sigma} \cdot p}\epsilon_{s}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}\sqrt{m_{e}}\left(1-\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \\ \sqrt{m_{e}}\left(1+\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \end{pmatrix},$$ $$\tag 3 u_{s}(k)\approx \begin{pmatrix}\sqrt{\sigma \cdot k}\epsilon_{s} \\ \sqrt{\tilde{\sigma} \cdot\mathbf p}\epsilon_{s}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}\sqrt{m_{e}}\left(1+\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \\ \sqrt{m_{e}}\left(1-\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \end{pmatrix}$$ En segundo lugar, es conveniente dividir $\sigma_{\mu\nu}(p-k)^{\nu}A^{\mu}$término en dos partes: $$\tag 4 i\sigma_{\mu\nu}q^{\nu}A^{\mu}(q) = \alpha_{i}E_{i}+\Sigma_{i}B_{i},$$ dónde $\alpha_{i}=\gamma_{0}\gamma_{i}$se llama velocidad, mientras que $\Sigma_{i} \equiv \frac{1}{2}[\gamma_{i},\gamma_{j}]$es el operador de espín.

No es difícil de obtener usando$(2)-(4)$, eso

$$\bar{u}(p)i\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu}(q)u(k)\simeq \text{const}_{1}(\bar{S}\cdot \mathbf B) + \text{const}_{2}([\bar{S}\times \mathbf q] \cdot \mathbf E (\mathbf q)),$$ dónde $$\bar{S} \equiv \epsilon^{\dagger}\frac{\sigma}{2} \epsilon$$ El primer sumando corresponde a la interacción del momento magnético de espín con el campo magnético, mientras que el segundo sumando se denomina interacción espín-órbita.

En conclusión, Su sumando genera correcciones radiativas para el acoplamiento espín-órbita y el momento magnético.