Construcción del invariante lagrangiano de interacción bajo transformaciones de isospín SU(2)SU(2)SU(2)

Question

Construcción del invariante lagrangiano de interacción bajo transformaciones de isospín SU(2)SU(2)SU(2)

Física
física nuclear
isospin-simetría
formalismo lagrangiano
representaciones de grupo
teoría de la representación

Constantino negro

El problema que se plantea aquí es, como dice el título, construir un Lagrangiano que sea invariante con respecto a $SU(2)$ transformaciones. Presentaré primero el contexto y la razón de mi cuestionamiento y luego formaré la pregunta al final.

El problema físico es construir el Lagrangiano fenomenológico más simple del siglo pasado para la dispersión de NN a través de una interacción de piones con invariancia de isospín. Tratamos aquí solo con la invariancia de isospín y no nos importa la simetría de Lorentz.

Clasificamos los tres piones como un triplete de piones en $SU(2)$ representación adjunta, que es un espacio vectorial con tres dimensiones (a partir de ahora escribiremos las representaciones como Dalgo). También clasificamos el protón y el neutrón como un doblete de $SU(2)$ $D_{1/2}$ representación, que es un espacio 2d con $p$ y $n$ como vectores base.

En mi entendimiento (que puede estar equivocado y luego debe corregirse) la construcción del Lagrangiano invariante se deriva de la construcción dentro de los dos espacios de representación. $D_1$ y $D_{1/2}$ invariantes tanto del doblete como del triplete.

En la representación D1/2 tenemos como invariante el término $\psi ^T \psi$ , dónde $\psi$ representa el jubón y T para el símbolo de la daga.

Mi problema viene cuando tengo que mezclar este término con el triplete $\phi$ de los piones en la D1 repr. Si solo tomo el término $\psi ^T \psi$ y ponlo como está en la repetición D1 y multiplícalo por $\phi$ Seguramente no tengo un invariante (¿considerando que la cantidad \psi ^T \psi permanece en la misma forma?).

Lo que he visto en la práctica es que uno debe tomar el término $\Phi = \tau _k \phi ^k$ , y luego construye el invariante como $L_{int} = \psi ^T \Phi \psi = \psi ^T \phi _k \tau ^k \psi .$ $\tau$ son las matrices de Pauli en forma de 2x2 como generadoras del grupo SU(2).

Pregunta :

Lo que no entiendo es cómo este término es invariante por construcción en ambos espacios de representación. Esto se debe a que el término $\Phi$ es un termino que como veo pertenece, no al espacio D1 sino al espacio de matrices 2x2 donde los generadores estan en forma 2x2 y funcionan como vectores base. Lo que creo que es preocupante (¿y probablemente por las razones equivocadas?) es que, de esta manera, mi invariante no parece pertenecer a los dos espacios de representación.

Entonces, ¿cómo se justifica esta prescripción? ¿Debe uno, para la construcción de invariantes en ambos espacios, trabajar en el espacio del producto directo de los dos o debe encontrar las representaciones irreductibles y luego construir invariantes allí de alguna manera? O si el trabajo de uno debe basarse en los papeles:

Documentos -

S. Coleman, J. Wess y B. Zumino, Phys. Rev. 177, 2239 (1969).
CG Callan, S. Coleman, J. Wess y B. Zumino, Phys. Rev. 177, 2247 (1969).

O al final, uno debería encontrar cómo representar los objetos de la representación D1/2 a la representación D1 y luego construir el invariante. Es obvio que en algún lugar del camino me perdí. Solo por favor, si esto es solo un problema de encontrar las representaciones irreducibles del producto directo de D1 y D1/2, aclare cómo se debe construir la interacción y trabajaré en el problema.

Nota: uno puede encontrar tales lagrangianos y una discusión más detallada en artículos como

Constantino negro

¿Alguien puede suponer por qué la publicación fue votada negativamente? Si hay algún punto que no está claro, con gusto haría comentarios o ediciones. Gracias.

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¿Alguien puede suponer por qué la publicación fue votada negativamente? Si hay algún punto que no está claro, con gusto haría comentarios o ediciones. Gracias.

Cosmas Zachos · Answer 1

Consideremos el isospin a través de las dimensionalidades de los multipletes, que cuentan mejor los estados, por lo que el isoespinor fermión es un doblete, 2 , y el isovector escalar es un triplete, 3 , el adjunto.

Entonces, desde ${\bf 2}\otimes {\bf 2}\otimes {\bf 3}= {\bf 5}\oplus {\bf 3}\oplus {\bf 3}\oplus {\bf 1}$ , y solo te interesa el singlete del término de interacción de Lagrange, tienes que ver cómo es ivariante.

La isorotación genérica SU(2) en la definición (doblete, $D_{1/2}$ ) la representación es $U=\exp{i{\boldsymbol \theta}\cdot {\boldsymbol \tau}}$ , manifiestamente unitario, $U^\dagger U=1\!\!1$ .

Bajo esta rotación genérica,

ψ \mapsto tu ψ, ψ^{†} \mapsto ψ^{†} {tu}^{†}, ϕ \cdot τ \mapsto tu ϕ \cdot τ {tu}^{†} = ϕ \cdot (tu τ {tu}^{†}) = (ϕ - 2 θ \times ϕ + . . .) \cdot τ = = ϕ \cdot (τ porque (2 θ) + \hat{θ} \times τ pecado (2 θ) + \hat{θ} \hat{θ} \cdot τ (1 - porque (2 θ))) .

$\psi \mapsto U\psi ,\\ \psi^\dagger \mapsto \psi^\dagger U^\dagger, \\ {\boldsymbol \phi}\cdot {\boldsymbol\tau} \mapsto U{\boldsymbol \phi}\cdot {\boldsymbol\tau} U^\dagger= {\boldsymbol \phi}\cdot (U{\boldsymbol \tau} U^\dagger)= ({\boldsymbol \phi} -2{\boldsymbol\theta}\times{\boldsymbol \phi+... })\cdot {\boldsymbol \tau}= \\ = {\boldsymbol \phi}\cdot \bigl ( \boldsymbol{\tau} ~ \cos (2\theta)+ \boldsymbol{ \hat{\theta} }\times \boldsymbol{\tau} ~\sin (2\theta)+ \boldsymbol{\hat{\theta}} ~ \boldsymbol{\hat{\theta}} \cdot \boldsymbol{\tau} ~ (1-\cos (2\theta))\bigr ) ~.$ El último término entre paréntesis especifica cómo el triplete de τ s ( vector de Pauli ) se transforma entre sí a través de la transformación de similitud, es decir, cómo el triplete,

D_{1}

$D_1$ , los índices adjuntos se transforman en la parte simétrica (triplete) de la

2 \otimes 2 .

${\bf 2}\otimes {\bf 2}.$ (Esto no es más que la célebre [fórmula de rotación de Rodrigues] .) Este procedimiento de rotar un vector adjunto mediante una operación doble sobre los índices fundamentales del vector de Pauli saturándolo, en cambio , se generaliza a todos los grupos, por lo que, en SU(3) de QCD, por ejemplo, donde las matrices de 8x8 serían enormes y desordenadas, pero el "vector de Gell-Mann" de 3x3 es escaso y manejable.

Entonces, manifiestamente,

ψ^{†} {tu}^{†} tu ϕ \cdot τ {tu}^{†} tu ψ = ψ^{†} ϕ \cdot τ ψ,

$\psi^\dagger U^\dagger U{\boldsymbol \phi}\cdot {\boldsymbol\tau } U^\dagger U\psi = \psi^\dagger {\boldsymbol \phi}\cdot {\boldsymbol\tau} \psi ~,$ un invariante, está bien. Realmente no es diferente a componer momentos angulares de dos espinores con un vector y extraer el singlete.

Gracias profesor, agradezco su respuesta y ayuda. Preguntas menores: escribes 2x2x3 y no 2x3 para el producto directo de representaciones; es porque tenemos dos iso-fermiones en la dispersión o porque estás usando ambos $\psi$ y $\psi$ ¿daga?
Además, ¿podemos decir que la transformación de $\phi \cdot t$ es una rotación de un vector mostrando que el valor absoluto de $\phi$ sigue siendo el mismo; pero ¿en qué espacio vectorial tiene lugar esta rotación? ¿Por qué esa rotación nos da la transformación del vector adjunto en la representación fundamental (o lo he entendido mal)? Y sólo para ser más precisos: cómo y qué son ahora el término en ambos espacios de representación que ahora son invariantes; o tenemos las invariantes ahora en otro espacio? Nuevamente, gracias y si hay alguna referencia de donde podría estudiar, infórmeme.
Dos isoespinores, cada uno en su propio espacio 2d, se combinan en un isovector 3d, $\psi^\dagger \tau^i \psi$ , que está punteado en un isovector de magnitud fija $\phi^i$ para producir el isosinglet. Todas las isorotaciones están en el espacio interno de isospín, pero son formalmente idénticas a las rotaciones espaciales. Aprende sobre el grupo de rotación en los libros básicos de mecánica cuántica, donde debe hacer todos los ejercicios de momento angular para comprender la teoría básica de representación de grupos.
¿Puedo decir que la transformación de semejanza de $\tau _k$ implica un cambio de base en el espacio del álgebra ya que el álgebra es isomorfa a la representación adjunta por definición de la última como un mapa del álgebra? Así que cambiamos la base del triplete de φ a la base de τ. Gracias.
Hasta cierto punto, podrías. Pero, este cambio de base es una rotación, la isorotación inversa de φ que viste funcionó.

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