Linealidad de la mecánica cuántica y no linealidad de la física macroscópica

Hay un concepto erróneo demasiado común de que debido a que la ecuación de Schrödinger es lineal, los fenómenos no lineales (como el caos) son solo clásicos. La función de onda obedece a una ecuación lineal, la ecuación de Schrödinger, pero no está directamente relacionada con la física observable. Las cantidades observables, como los valores esperados de los operadores, obedecen a ecuaciones no lineales. De hecho, muchas veces las mismas ecuaciones que sus contrapartes clásicas, con pequeñas correcciones.

Suponiendo que quiere decir "lineal" en el sentido matemático de "la suma de dos soluciones a la ecuación relevante también es una solución", no hay ninguna razón particular por la que los objetos macroscópicos sean inherentemente no lineales. De hecho, hay una gran cantidad de trabajo en la comunidad de fundamentos cuánticos sobre formas de hacer que los objetos macroscópicos se comporten de manera lineal pero parezcan no lineales. Ese es el punto central de cosas como la interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica y la investigación sobre la decoherencia por parte de personas como W. Zurek. Puede haber una escala por encima de la cual no sea práctico ver estados de superposición, pero eso no significa que no puedan existir.

Si eso no es lo que quieres decir, entonces no sé cómo responderte.

La dinámica de campo media, que describe la evolución efectiva de una partícula en un sistema con un gran número de partículas, no es lineal, incluso si la dinámica cuántica es lineal. La convergencia hacia la dinámica del campo medio ha sido rigurosamente probada para sistemas cuánticos de muchas partículas (e incluso campos cuánticos), y es hoy en día un tema muy estudiado en física matemática. En este sentido existen sólidos fundamentos sobre la conexión entre la dinámica cuántica lineal y la evolución efectiva no lineal de los sistemas macroscópicos.

La idea es que las matrices de densidad reducida evolucionadas en el tiempo del sistema cuántico convergen, en el límite$N\to\infty$, al proyector sobre la solución de ecuaciones no lineales de campo medio (al menos para algunos estados cuánticos particulares, por ejemplo, estados coherentes, con estados generales la imagen se vuelve más complicada, pero la dinámica no lineal gobierna la evolución en el límite).

Lineal en la mecánica cuántica no tiene nada que ver con su complejidad. Un giro de dos estados se puede describir mediante una matriz simple de 2 por 2; sin embargo, 30 giros que interactúan, en general, deben describirse mediante una matriz de mil millones por mil millones. Crece exponencialmente a medida que aumenta el número de espines, por$10^{23}$girar, es posible que necesite una matriz de tamaño$2^{10^{23}}$. No es fácil de entender y no es simple en la mayoría de los sentidos. Si aprende algo de mecánica estadística, sabrá que este número es lo suficientemente grande como para tener nuevos fenómenos emergentes.

Hay otro "dominio de la linealidad";$\ddot{x}=-x$es una ecuación lineal con soluciones no lineales en el tiempo.