¿Cómo se relacionan estos dos enfoques de los espinores en el espacio-tiempo curvo?

Con respecto a los espinores en espacio-tiempos curvos, básicamente me han parecido dos enfoques. En un conjunto de notas de clase de un físico de mi departamento, trabaja con espinores en un espacio-tiempo curvo.$(M,g)$eligiendo un vielbein$e^a_\mu$. En ese contexto, un espinor de Dirac es un$\Psi(x)\in\mathbb{C}^4$con algunas propiedades.

1. Se transforma bajo la Simetría Local de Lorentz como

   $$\Psi'(x)=L(\omega(x))\Psi(x),\quad L(\omega(x))=e^{\frac{i}{2}\omega^{ab}(x)\Sigma_{ab}},\quad \Sigma_{ab}=\dfrac{1}{4}[\gamma_a,\gamma_b],$$ dónde$\gamma_a$son las matrices gamma de espacio-tiempo planas estándar.

2. Se puede diferenciar covariantemente como

   $$D_\mu\Psi(x)=\partial_\mu\Psi(x)+\dfrac{i}{2}B_\mu^{ab}\Sigma_{ab}\Psi(x)$$

Por otro lado, existe otro enfoque que es más riguroso y se basa en estructuras de espín. En ese sentido comenzamos con el paquete de marcos ortonormales$\pi_F:{\cal F}(M)\to M$y definir una estructura de espín para que sea un principal${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-manojo$\pi_P:P\to M$junto con un mapa principal$\Phi:P\to{\cal F}(M)$tal que si$\rho:{\rm SL}(2,\mathbb{C})\to {\rm SO}(1,3)$es el mapa de cobertura entonces$\Phi(e\cdot g)=\Phi(e)\cdot \rho(g)$. Ahora un espinor de Dirac será una sección del paquete asociado para$P$construido a partir de la representación de Dirac de${\rm SL}(2,\mathbb{C})$.

En este segundo enfoque, uno tiene que discutir si existe una estructura de espín, la respuesta es que existe si y solo si la segunda clase de Stiefel-Whitney de$M$es cero Una segunda pregunta es si la estructura de espín es única y soy consciente de que en algunos casos no lo es. Ahora, para ser honesto, no parece que esta definición de estructura de espín se use en la práctica , así que sé poco más que la definición.

Mi pregunta aquí es: ¿ cómo se relacionan estos dos enfoques ? El enfoque en las notas de la clase parece mucho más fácil de usar en la práctica, pero no puedo ver dónde se encuentra la estructura de giro allí. En particular, no me queda claro dónde está el mapa.$\Phi$se encuentra allí y cómo pueden aparecer distintas estructuras de espín. Todavía tengo la impresión de que podemos partir de la estructura de espín y llegar a un punto en el que para trabajar en la práctica lleguemos al enfoque de las notas de clase.