¿Existe alguna relación entre el campo de calibre y la conexión de espín?

Un campo de calibre para un grupo en particular$G$puede pensarse como una conexión, o un$G$Lie álgebra forma diferencial valorada. Si recordamos la curvatura de Riemann,

$$R(u,v)w = \left( \nabla_u \nabla_v - \nabla_v \nabla_u -\nabla_{[u,v]}\right)w$$

Si$[u,v]=0$la expresión se simplifica al tensor usual en la relatividad general. De manera similar, podemos pensar en la intensidad de campo de un campo de calibre como una curvatura: es esencialmente un conmutador de derivadas covariantes e intenta cuantificar el efecto del transporte paralelo en objetos tensoriales. Para$U(1)$campo,

$$F=\mathrm{d}A$$

sin términos adicionales, porque el análogo del$\nabla_{[u,v]}$término desaparece como$U(1)$es abeliana y todas las constantes de estructura del grupo desaparecen. La relación con el tensor de curvatura se vuelve aún más clara cuando expresamos la intensidad de campo en notación de índice explícita,

$$F=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$

En gravitación, el grupo gauge es el grupo de difeomorfismos$\mathrm{Diff}(M)$, infinitesimalmente estos son campos vectoriales que desplazan las coordenadas; la operación binaria del grupo es el corchete de mentira, y la métrica cambia por un corchete de mentira, a saber,

$$g_{ab}\to g_{ab}+\mathcal{L}_\xi g_{ab}$$

dónde$\xi$es nuestro campo vectorial. El grupo Lorentz$SO(1,3)$es un subgrupo del grupo de difeomorfismos. Además, los vectores Killing son aquellos que no producen perturbación de calibre de la métrica, es decir

$$\nabla_\mu X_\nu -\nabla_\nu X_\mu=0$$

Estos conmutadores de vector Killing pueden formar un álgebra de Lie de un grupo de Lie$G$; los generadores$T_a$de un grupo de mentiras$G$nos permiten definir las constantes de estructura,

$$[T_a,T_b]=f^{c}_{ab}T_c$$

dónde$f$son las constantes de estructura, módulo algunas constantes según la convención.

Como Slereah mencionó en los comentarios, la gravedad en la formulación de Palatini (es decir, la que tiene vielbeins y la conexión de espín) puede entenderse fácilmente como la teoría de medida del grupo de Lorentz.

No sólo tienes una correspondencia entre$\omega_\mu = \omega_\mu^{ab}$como un campo vectorial valorado de álgebra de mentira (es decir, álgebra de Lorentz) (que se vuelve más obvio cuando se suprimen los índices del grupo de calibre, como se hace a menudo en las teorías de calibre "regulares"), también tiene el Riemannian$R_{\mu \nu}^{ab} = R_{\mu \nu}$como una curvatura de calibre, es decir, el "$F_{\mu \nu}$"de la gravedad.

Efectivamente, cualquier campo de calibre tiene una conexión similar, así como un tensor de curvatura. Esto también deja espacio para una interpretación geométrica, similar al enfoque convencional de la relatividad general. Un ejemplo bien conocido es el electromagnético.$\left(\ U(1)\ \right)$campo de medida$A_\mu$, que puede introducirse exigiendo$U(1)$invariancia del campo escalar complejo Lagrangiano (ver, por ejemplo, el libro de Ryder sobre QFT). El tensor de curvatura es

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$ y la derivada covariante actúa como $$D^\mu\psi=\left(\partial^\mu + ieA^\mu\right)\psi\hspace{2cm} D^\mu\psi^*=\left(\partial^\mu-ie A^\mu\right)\psi^*$$ Como mencionaron otros, podemos entender la gravedad de la misma manera, con la conexión de Christoffel cumpliendo el mismo papel que la conexión de espín que mencionaste o la $ieA^\mu$término para el campo electromagnético, mientras que el tensor de Riemann $R^\rho_{\mu\sigma\nu}$es el tensor de curvatura. El tensor de curvatura en realidad está íntimamente relacionado con la derivada covariante; actúa como el conmutador. En relatividad general, por ejemplo, tenemos $$[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$$