¿Cómo se relaciona la curvatura de Berry con las fuerzas de salto en el modelo de Haldane?

Tome el hamiltoniano de Haldane, citado en An Introduction to Topological Insulators de Fruchart et al .:

3.5.3. Hamiltoniano de Haldane

El primer hamiltoniano cuantizado del modelo de Haldane se puede escribir como:

(30) H ^ = t ∑ ⟨ i , j ⟩ | i ⟩ ⟨ j | + t 2 ∑ ⟪ i , j ⟫ | i ⟩ ⟨ j | + METRO [ ∑ i ∈ A | i ⟩ ⟨ i | − ∑ j ∈ B | j ⟩ ⟨ j | ]
dónde | i ⟩ representa un estado electrónico localizado en el sitio i (orbitales atómicos), ⟨ i , j ⟩ representa los sitios de celosía de los vecinos más cercanos i y j , ⟪ i , j ⟫ representa los segundos sitios vecinos más cercanos i y j , i ∈ A representa sitios en la subred A (resp. i ∈ B en la subred B ). Este hamiltoniano se compone de un primer término de salto de vecinos más cercanos con una amplitud de salto t , un segundo término de salto de vecinos con un parámetro de salto t 2 , y un último término de ruptura de simetría de subred con energías in situ + METRO para sitios de subredes A , y − METRO para subredes B , que por lo tanto rompe la simetría de inversión. Además, las fases de Aharonov-Bohm debidas a la inversión de tiempo que rompe los flujos magnéticos locales se tienen en cuenta mediante la sustitución de Peierls:
(31) t i j → t i j Exp ⁡ ( − i mi ℏ ∫ Γ i j A → ⋅ d ℓ → )
dónde t i j es el parámetro de salto entre sitios i y j , y donde Γ i j es la trayectoria del salto desde el sitio i al sitio j y A → es un vector potencial que explica la presencia del flujo magnético.

¿Cómo funcionan los parámetros de salto? t y t 2 del modelo sobre la red de panal se relacionan con la curvatura de Berry local de la celda unitaria, si es que se relacionan? No creo que sea obvio, pero la conexión de Berry y la hamiltoniana dependen una de la otra. Esta publicación analiza la participación de la conexión Berry en el hamiltoniano.

Estoy más preocupado por las consecuencias físicas de cualquier relación potencial entre los dos. Para tomar una suposición descabellada como ejemplo, ¿la curvatura local de Berry en el espacio k que corresponde a las rutas de salto del vecino más cercano en el espacio real = 0? En una nota semi relacionada, ¿debe ser mínima la energía de la partícula en cuestión en sus trayectorias de salto? ¿Alguna referencia?

¡Agradecería cualquier consejo o recurso! ¡Gracias!

Además, agradecería cualquier idea sobre los valores apropiados para los parámetros de salto. En todas las referencias que he visto, t 2 es una pequeña fracción de t .
Para futuras referencias: por favor, no publique imágenes de los textos que desea citar , sino escríbalo para que sea legible para todos los usuarios y para que pueda ser indexado por los motores de búsqueda; para fórmulas, use MathJax en su lugar. He transcrito tu texto en esta pregunta, pero deberías hacerlo tú mismo en futuras publicaciones.
En cuanto a su comentario: hay un límite estricto de t 2 ≤ t / 3 , que se explica en el artículo original de Haldane. Si esto se viola, las bandas se superpondrán en el dominio de la energía (si no recuerdo mal).
@EmilioPisanty, muchas gracias por hacerlo y por hacérmelo saber. ¡Ah, y por la generosidad! ¡Me disculpo por mi ignorancia!
En una lectura más cercana, gran parte de esta pregunta está mal planteada. En particular, con respecto a "¿la curvatura local de Berry es cero a lo largo de las rutas de salto del vecino más cercano?" - eso no tiene sentido. La curvatura de Berry se define en el espacio k, no en la red original del espacio real.
@EmilioPisanty, ¿aún existe la posibilidad de que los dos estén relacionados? Mi pregunta fue motivada en parte por la comparación de las secciones 6.1 y 6.2 de Un curso breve sobre aisladores topológicos de JK Asboth, L. Oroszlany, A. Palyi. Si bien no se indicó explícitamente, la transición de discutir el espacio k a la red espacial real fue intrigante porque las cifras me hicieron preguntarme cómo la curvatura de Berry podría estar relacionada con la amplitud de salto. Sin embargo, debo confesar que no entendí completamente la mecánica detrás de este modelo.
La curvatura de la baya de @EmilioPisanty se define en algún espacio de parámetros, no es necesariamente un espacio K.
¿Estás hablando de la sustitución de Peierls? Si es así, puede echar un vistazo a la página de Wikipedia de "sustitución de Peierls", hay algunos argumentos sobre cómo cambian los parámetros de unión estrecha cuando hay un campo magnético. Mientras que la "derivación rigurosa" en esa página es incorrecta. El cálculo correcto se puede encontrar en un artículo antiguo escrito por Luttinger en 1951. Ver PhysRev.84.814
@FangXie, gracias por la sugerencia. Lo que obtuve de la página de Wikipedia es que los parámetros t , t 2 siguen siendo válidos mientras ϕ mantiene la sustitución válida en cualquier tipo de campo magnético. No sé cómo continuar, ¿algún consejo? Mis simulaciones del modelo de Haldane muestran que la curvatura local de Berry que se extiende alrededor de los puntos de Dirac cambia según las fuerzas de salto. Estoy particularmente interesado en regiones donde la curvatura local de Berry toma diferentes signos (+, -, 0), y estoy tratando de entender su significado con respecto al espacio real, en esta pregunta.

Respuestas (1)

esto es algo que no es tan complicado. Suponga que tiene un electrón sentado en un sitio de red, luego salta a un vecino. mientras hace este electrón siente el potencial electromagnético obvio, por lo que, naturalmente, cuando llega al sitio vecino, ganará esa fase de baya.

es solo un efecto Ab para un electrón mientras se mueve bajo un campo electromagnético.

cuando el electrón salta, significa que se está moviendo bajo un campo electromagnético, por lo que, naturalmente, debe adquirir la fase AB. es así de simple.

permítanme dar un ejemplo supongamos que tenemos un sistema de electrones libres

h = pag 2 / 2 metro
ahora activamos el campo electromagnético el hamiltoniano será
h = ( pag − A ) 2 / 2 metro
así es como escribes un hamiltoniano para un electrón libre que se mueve en un campo EM.

¿Qué pasa con el sistema de celosía? En ese caso, puedes hacer lo mismo. supongamos que tenemos un hamiltoniano en red sin campo em.

H = ∑ k C k , i † h i j ( k ) C k , j

bueno k es el impulso, por lo que haremos el mismo acoplamiento mínimo donde i, j tienen algún grado de libertad, no son sitios de red, estamos en el espacio del impulso.

H = ∑ k C k , i † h i j ( k − A ) C k , j

así que es tan simple como eso, si realiza una transformada de Fourier y va al espacio de posición, obtendrá exactamente los términos en su pregunta.

y cualitativamente significa que, cuando enciendes A Los electrones adquieren la fase AB cuando saltan de un sitio a otro.

editar : Permítanme dar un ejemplo, supongamos que tenemos un hamiltoniano de celosía dado por;

H = ∑ k C k † porque ⁡ ( k ) σ z C k
dejar k = k − A de lo que tenemos
H = ∑ k C k † porque ⁡ ( k − A ) σ z C k

hagamos un FT

C k = ∑ j C j Exp ⁡ ( i k j )

así que al volver a escribir C k como arriba y sustituyendo en hamiltoniano tenemos

H = 1 2 ∑ k , j , j ′ C j ′ † mi ( i ( k − A ) + i ( j − j ′ ) k ) σ z C j + C j ′ † mi ( − i ( k − A ) + i ( j − j ′ ) k ) σ z C j
de este modo
H = 1 2 ∑ k , j , j ′ C j ′ † mi − i ( A ) mi i ( 1 + j − j ′ ) k ) σ z C j + C j ′ † mi i ( A ) mi i ( j − j ′ − 1 ) k ) σ z C j
mediante el uso
d j , 0 = ∑ k mi i k j
tenemos
H = 1 2 ∑ j , j ′ C j ′ † mi − i ( A ) d ( 1 + j − j ′ ) , 0 σ z C j + C j ′ † mi i ( A ) d ( j − j ′ − 1 ) , 0 σ z C j
entonces
H = 1 2 ∑ j C j + 1 † mi − i ( A ) σ z C j + C j − 1 † mi i ( A ) σ z C j

Gracias por su respuesta. Sin embargo, tengo problemas para digerir la relación entre la curvatura de Berry (o fase, de su respuesta) y los términos de salto t y t 2 del modelo de Haldane. ¿Te importaría aclarar esto? De su respuesta, obtuve que el hamiltoniano permite comparar las fuerzas de salto con la fase de Berry a través de las transformadas de Fourier. Sin embargo, sabía esto por la publicación SE a la que me vinculé en la pregunta, y esperaba una respuesta más específica. Por favor, avíseme si me estoy perdiendo algo. ¡Gracias!
De acuerdo, haz una transformación foruier a tu modelo Haldane sin campo magnético. entonces tendrá un impulso psace hamiltoniano que cambiar k a kA en ese hamiltoniano y nuevamente regresará al espacio de posición con transformada de Fourier de lo que comprenderá, todo
Gracias por la sugerencia. Fruchart et al. La referencia proporciona una base de subred de la transformada hamiltoniana posterior a Fourier. Sin embargo, todos los términos involucran una función trigonométrica que involucra el producto de k con una matriz de Pauli. Por ejemplo: h X ( k ) = t ( 1 + C o s ( k . b 1 ) + C o s ( k . b 2 ) ) . No me queda claro cómo podría tomar la transformada inversa de Fourier con la b i Matrices de Pauli en el camino. Cuando usé Mathematica con k → k − A y todo b i = 1 Sin embargo, obtuve algo prometedor. está configurando b i = 1 ¿válido? ¿Cómo puedo usar esta nueva información para comprender la curvatura de Berry?
C k = ∑ j C j Exp ⁡ ( i k j ) y d j , 0 = ∑ k Exp ⁡ ( i k j ) use estas identidades también escriba los términos coseno en términos exponenciales.
@TribalChief ver la edición
Gracias por tus respuestas. Todavía estoy luchando por entender la relación entre A y la curvatura de Berry. ¿Supongo que A en su respuesta es un vector potencial que es análogo a la conexión de Berry? Mi objetivo final es intentar programar algo que me ayude a estudiar cómo t , t 2 influirá en A.
De acuerdo, creo que hay algunos vacíos de conocimiento fundamentales aquí, pero se pueden cerrar muy rápidamente, lea el libro Take QM de sakurai, lea el proceso adiabático y las cosas de la fase de bayas allí también lea la respuesta del campo electromagnético a los sistemas cuánticos (acoplamiento mínimo) que finalmente, lea la sustitución de pierels, esto tomará una semana y después de eso obtendrá todo.
Gracias por tus sugerencias. Pero, hasta que resuelva explícitamente las cosas, por el bien de la generosidad, al menos una idea cualitativa simplista de la dep. de t , t 2 en la curvatura local de Berry sería muy útil. Hasta ahora, siento que estos términos tienen una contribución mínima a la curvatura local de Berry y que el calibre elegido tiene más control. Pero, los dos no pueden ser completamente independientes (?). Todavía no pude encontrar mucho en la literatura. En cuanto a la sustitución de Peierls y todo eso, creo que tengo una comprensión bastante funcional del texto/términos citados en mi pregunta. Estoy confundido acerca del panorama general.
en realidad, esto es lo que mostré en mi cálculo en el hamiltoniano final. Exp ⁡ ( i A ) delante de los términos de salto, por lo que esta es exactamente la dependencia de los términos de salto con la curvatura de la baya, esto prueba exactamente la fórmula 31 en su pregunta. aquellos A son lo mismo.
¿Cómo se relaciona la curvatura de Berry con las fuerzas de salto en el modelo de Haldane?
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