¿Cómo incluir la conexión Berry en Hamiltonian?

La conexión de Berry vive en el espacio de parámetros, por lo que no aparece en el hamiltoniano microscópico dado en la pregunta, sino en la ecuación de movimiento hamiltoniana efectiva en el espacio de parámetros. El objetivo, a continuación, es mostrar los detalles en la aproximación variacional.

Para ser precisos, la notación bra-ket que usaré se explica en las siguientes dos ecuaciones:

$$\mathbf{A} = \langle\psi(R) |\mathbf{\nabla_R} | \psi(R) \rangle \triangleq \int d^3x \ \psi(x,R)^{\dagger} \mathbf{\nabla_R}( \psi(x,R))$$

Dónde$\psi(x,R)$son las funciones de onda escalares correspondientes a los vectores de estado$| \psi(R) \rangle$

En componentes la ecuación anterior toma la forma:

$$A_i = \langle\psi(R) |\frac{\partial} {\partial R^i} | \psi(R) \rangle = \int d^3x \ \psi(x,R)^{\dagger}\frac{\partial} {\partial R^i}\psi(x,R))$$

Dado un hamiltoniano microscópico (que también puede tener una dependencia explícita del espacio de parámetros$H(x, R)$, (Para un fijo$R$,$H(x, R)$puede ser un operador de Schroedinger en el espacio real), el hamiltoniano efectivo en el espacio de parámetros está definido por:

$$\mathcal{H}(R) = \langle\psi(R) |H | \psi(R) \rangle = \int d^3x \ \psi(x,R)^{\dagger}H\psi(x,R))$$

$H$puede tener la forma dada en la pregunta con$A$siendo un campo externo adicional no relacionado con la conexión Berry.

La ecuación de Shroedinger dependiente del tiempo exacto:

$$\frac{\partial | \psi \rangle }{\partial t} = H | \psi\rangle$$

se puede derivar de la variación del Lagrangiano:

$$L = \langle\psi(R) |(\frac{\partial}{\partial t}- H )| \psi(R) \rangle$$

De acuerdo con la aproximación variacional, buscamos una solución variando los vectores de estado no en todo el espacio de Hilbert sino solo dentro del espacio de parámetros. El significado de esta aproximación es que no estamos permitiendo que los vectores de estado varíen en las direcciones del espacio real, por lo que estamos cerca del estado de excitación más bajo del hamiltoniam para un tiempo fijo$R$.

Por lo tanto, variamos el Lagrangiano solo con respecto al espacio de parámetros y encontramos una solución a la ecuación de movimiento de Lagrange:

$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{R}^i}) - \frac{\partial L}{\partial R^i} = 0$$

Usando la notación anterior tenemos:

$$L = A_i \dot{R}^i - \mathcal{H}(R)$$

Las ecuaciones de movimiento de Lagrange:

$$\frac{dA_i }{dt} - \frac{\partial A_j}{\partial R^i} \dot{R}^j - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial R^i} = 0$$

Usando:

$$\frac{dA_i }{dt} = \frac{\partial A_i}{\partial R^j} \dot{R}^j$$

Obtenemos:

$$( \frac{\partial A_i}{\partial R^j} - \frac{\partial A_j}{\partial R^i} )\dot{R}^j = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial R^i}$$

Reconociendo la expresión de la curvatura de Berry:

$$F_{ij}(R) = \frac{\partial A_i}{\partial R^j} - \frac{\partial A_j}{\partial R^i}$$

Obtenemos:

$$F_{ij}(R)\dot{R}^j = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial R^i}$$

Si la curvatura de Berry es invertible, es decir, existe una matriz$\Omega^{ij}(R)$tal que:

$$\Omega^{ij}(R) F_{jk}(R) = \delta^i_k,$$

obtenemos la ecuación de movimiento en el espacio de parámetros:

$$\dot{R}^i = \Omega^{ij}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial R^j}$$

Estas son ecuaciones de movimiento clásicas de Hamilton, con la estructura simpléctica igual a la curvatura de Berry. Así, la evolución cuántica puede aproximarse mediante una evolución clásica en el espacio de parámetros.

Actualización: efecto en el espectro del sistema

En muchos casos, el espacio de parámetros es un sistema integrable compacto. En este caso, su cuantificación divide cada línea espectral del espectro del sistema en un número finito de niveles de energía. En este caso habrá un número finito de soluciones periódicas de las ecuaciones de movimiento

$$R(t) = R(t+T),$$

viviendo en hipersuperficies de energía fija$\mathcal{H} = E = const.$. Deberíamos arreglar los parámetros de nuestro sistema de tal manera que la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld:

$$\int_{0}^{T} A_i(R(t) )\dot{R}^i(t) dt = 2\pi n$$

Dónde$n$es un entero fijo. Las condiciones anteriores son ecuaciones implícitas que fijan los niveles de energía$E_k$y los periodos correspondientes$T_k$.

El estado correspondiente viene dado por:

$$| \psi_k\rangle = \frac{1}{T_k}\int_0^{T_k} dt \ e^{i\int_0^{t} A_i(R(\tau) )\dot{R}^i(\tau) d\tau} | \psi(R(t))\rangle$$

Mis disculpas si he estimado mal dónde radica su confusión, pero lo que respondo abordará algunas ambigüedades que me molestan en algunas exposiciones pedagógicas. También abordará algunos conceptos erróneos comunes.

Si está preguntando a qué hamiltoniano se le da un vector potencial parametrizado, se supone que es un operador, pero la notación sobre qué operador puede ser confusa.

Cuando no hay potencial vectorial, el hamiltoniano es

$$\hat H=\frac{1}{2m}\hat p^2+V$$ que es igual $$\hat H=\frac{1}{2m}\left( \hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2\right)+ V.$$

Y en este caso ese momento es el momento cinético y el canónico porque son lo mismo. Me molesta que la noción haga parecer que hay un operador de impulso que opera dos veces, pero ahí lo tienes.

Cuando hay un vector potencial, entonces hay tres operadores autoadjuntos$\hat A_x,$ $\hat A_y,$y$\hat A_z.$De inmediato, eso podría molestarlo, porque parece que puede observar el potencial del vector, que depende del calibre. Pero el punto es que$\hat A_i$es una función escalar de posición de valor real, por lo que en la representación de posición, cada uno es hermitiano como el potencial escalar$V.$Y el potencial escalar también dependía del calibre, incluso cuando no había potencial vectorial. Así que observable no significa que puedas verlo en el laboratorio, significa que puedes proyectar en diferentes espacios propios y separar esas proyecciones acoplándolas de manera diferente a otras cosas. En el caso de la energía, no mides la energía per se, mides las diferencias de energía. Aunque la gente a veces trata de hablar de un cero de energía en la mecánica cuántica, aunque el potencial clásico original podría ajustarse mediante una constante arbitraria.

Lo segundo es que en el hamiltoniano

$$\frac{1}{2m}\left( \left(\hat p_x-q\hat A_x\right)^2+ \left(\hat p_y-q\hat A_y\right)^2+ \left(\hat p_z-q\hat A_z\right)^2 \right)+V,$$ el $\hat p_i$que aparecen son el momento canónico y el $p-qA$es entonces el momento cinético donde $q$es la carga de la partícula (y a veces la gente incluso escribe la carga de una manera fácilmente ambigua). Finalmente, el producto de los operadores hermitianos no siempre es hermitiano, pero dado que los productos son todos términos como $\left(\hat p_x-q\hat A_x\right)^2$= $\hat p_x^2$- $q\hat p_x\hat A_x$- $q\hat A_x\hat p_x$+ $q^2\hat A_x^2$donde es el mismo operador hermitiano al cuadrado, entonces está bien (es decir, el cuadrado de un operador hermitiano es hermitiano aunque un producto de operadores hermitianos no sea hermitiano). Tenga en cuenta también que dado que el momento canónico no conmuta con el vector potencial, necesitamos los cuatro términos en cualquier cuadrado. Finalmente, el resultado es el momento cinético, pero recuerde que los diferentes componentes del momento cinético ya no se conmutan entre sí. El momento cinético tiene componentes como $\hat p_x-q\hat A_x$y aunque cada uno de los componentes es hermitiano, no se computan entre sí. Esto significa que, como el giro o cualquier otro momento angular, se puede medir cualquier componente y se puede medir el cuadrado, pero no se pueden medir los tres componentes del momento cinético, no se pueden medir los tres componentes de la velocidad. Así es la vida. Antes, cuando cinético y canónico eran lo mismo, es posible que desarrolle ideas incorrectas sobre el momento cinético y ahora es el momento de separarlos si aún no lo ha hecho.

Así que traté de abordar todas las posibles confusiones y todo lo que a menudo se pasa por alto o se hace de manera ambigua. Así que si tienes un$A$deberías poder hacer tu hamiltoniano.

Nada aquí parece específico de una fase Berry-Pancharatnam. Pero hay un buen artículo en el American Journal of Physics sobre la fase de Berry que lo resuelve exactamente, sin apelar a una aproximación adiabática. Podría ser bueno mirar para comparar en caso de que haga aproximaciones adiabáticas. Estudiar una aproximación en un caso en el que tiene la solución exacta puede ayudar a asegurarse de que está siguiendo lo que está sucediendo.