¿Segunda clase de Chern en el modelo Haldane 2D del teorema del índice de Atiyah-Singer?

Estaba leyendo una exposición centrada en la física del teorema del índice de Atiyah-Singer y me preguntaba qué significaría hablar sobre el modelo de Haldane para el caso de una variedad con un límite. Se sabe que, en este caso, el primer número de Chern describe la invariante topológica para toda la zona de Brillouin. Sin embargo, ¿qué sucede si tomamos un bucle adiabático cerrado en el toro de Brillouin asociado con el modelo de Haldane? Entonces tenemos una variedad con un límite.

Puede que me equivoque, pero a mi entender, la referencia vinculada sugiere, en las ecuaciones 8.2 y 8.5, que el teorema del índice de Atiyah-Singer implica que la segunda clase de Chern estará involucrada en este caso y que aún tendremos una invariante topológica cuantificada.

Sin embargo, tengo problemas para entender esto porque el modelo de Haldane es un sistema 2D y otros recursos ( como el párrafo superior en la página 1630003-19 de este documento, por ejemplo ) implican que no es útil mirar el segundo número de Chern en 2D. ¿Qué significa entonces esta invariante topológica? ¿No será inútil si no es aplicable?

Claramente, hay una brecha en mi comprensión, por lo que agradecería si alguien pudiera ayudarme a ver lo que me perdí. ¡Gracias!

Referencia 1: Gravitación, Teorías de Calibración y Geometría Diferencial, por Eguchi, Gilkey & Hanson

Referencia 2: Notas sobre aisladores topológicos, por R. Kaufmann & D. Li

¿Qué variedad tiene límite? ¿Espacio?
@RyanThorngren por variedad, estoy pensando en el área local dentro del bucle en el espacio de impulso (toro de Brillouin). El bucle en sí será el límite.
Sin embargo, ¿cuál es el significado físico de tal cosa?
@RyanThorngren Estoy tratando de resolver eso. :'-)

Respuestas (1)

De hecho, la segunda clase de Chern no puede ser un invariante topológico en dos dimensiones. Esta clase está representada por un rango 4 se forman en variedades suaves, por lo que sus números cuánticos topológicos asociados solo se pueden obtener mediante integración sobre 4 ciclos dimensionales que no existen en este caso. El teorema del índice mencionado en la pregunta del trabajo de Eguchi-Gilkey-Hanson se da explícitamente para 4 variedades dimensionales.

Sin embargo, la segunda clase de Chern está indirectamente conectada con la clasificación de paquetes vectoriales sobre 2 sistemas dimensionales de la siguiente manera:

Solo para recordar, los paquetes vectoriales sobre variedades bidimensionales se clasifican por medio de la primera Clase Chern. Pero cuando el paquete es invariante de inversión de tiempo (en este caso, la primera clase de Chern desaparece) existe un invariante binario: el Fu-Kane-Mele Z 2 invariante que discrimina entre los casos en los que la fase Berry es siempre 2 π (el caso trivial), o puede asumir el valor de π (el caso no trivial).

Una forma de entender el Z 2 invariante es buscar sistemas de dimensiones superiores a partir de los cuales se puede obtener nuestro sistema bidimensional por reducción dimensional. La reducción dimensional debe entenderse según el paradigma de Kaluza-Klein en el que las dimensiones extra se compactan y en el infrarrojo residen únicamente los modos de baja energía que son constantes en estas direcciones.

Qi, Hughes y Zhang demostraron en un trabajo seminal que un 2 + 1 sistema dimensional con no trivial Z 2 invariante se puede obtener a partir de la reducción dimensional de un 4 + 1 sistema dimensional de fermiones libres solo si la segunda clase de Chern de este último es impar.

Este fenómeno está relacionado con la escalera dimensional de anomalías quirales, consulte la sección 13.6.2 de Nakahara .

¡Muchas gracias por su detallada respuesta! ¿Sabe si la idea de una segunda clase de Chern en el modelo 2D de Haldane tendría sentido en el contexto de los sistemas cuánticos entre bandas? Sabemos que el primer número de Chern es para sistemas intrabanda. Sé que esto suena absurdo, pero todavía estoy tratando de pensar en otros escenarios (incluso poco realistas) en los que la segunda clase de Chern tendrá sentido en el modelo 2D de Haldane.
¿Significa esto que el invariante de Kane-Mele es el Z/2 en el grado 2 en la teoría del KO? ¿O entendí mal? Normalmente pienso en esto como el invariante de Arf.
TribalChief: Al considerar los sistemas dentro de la banda, permitirá conexiones Berry no abelianas y fibras de dimensiones superiores en su paquete, pero el problema es que el espacio base seguirá siendo 2 dimensional.
@Ryan Thorngren Me temo que mi conocimiento de la teoría K es muy básico, pero vi mucho trabajo conectando el Z 2 invariante a la teoría K, por ejemplo en Freed y Moore arxiv.org/abs/1208.5055
@DavidBarMoshe, gracias, pero no entiendo por qué el espacio base en 2D es un problema. Además, en la sección 13.5.1 del recurso de Nakahara que citó, compara m dimensiones con m+2 dimensiones en términos de Abelien/nonAbelian. Si esto no se refiere a la Z 2 invariante, ¿qué es entonces?
TribalChief: La segunda densidad de clase de Chern tiene la forma t r F ∧ F . La única forma de obtener un número cuántico a partir de esta densidad es integrarlo sobre un 4 espacio dimensional. En el ejemplo que trajo, la zona de Brillouin es bidimensional, por lo que no hay forma de integrar la segunda densidad de Chern para obtener un número cuántico topológico.
continuación El libro de Nakahara fue escrito antes del descubrimiento de la Z 2 invariante. Por lo tanto, no hay una mención específica de él en el libro. Di la referencia de Nakahara porque tiene una descripción detallada de la escalera dimensional anómala. Qi, Hughes y Zhang mencionaron que su trabajo se relaciona con la escalera dimensional anómala en el medio de la segunda columna de la página 40.
continuación La conexión de la escalera de anomalías a los aisladores topológicos y la Z 2 invariant también se mencionó en el siguiente trabajo de Li Kaufmann y Wehefritz-Kaufmann: de.arxiv.org/abs/1501.02874v1 (último párrafo de la sección 3.4). Fue elaborado más explícitamente en el contexto de los efectos Hall cuánticos por Hasebe arxiv.org/abs/1612.05853v2 .
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