¿Cómo se puede usar el teorema de Noether para demostrar que la densidad de probabilidad satisface una ecuación de continuidad?

¿Cómo puedo usar el teorema de Noether para mostrar que la densidad de probabilidad ρ ( X ) = | ψ ( X ) | 2 para una función de onda ψ ( X ) satisface la ecuación de continuidad ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j → = 0 , dónde j → Cómo se define la corriente de probabilidad en la mecánica cuántica?

He resuelto este problema antes por otros medios, pero creo que no entiendo el Teorema de Noether lo suficientemente bien como para aplicarlo en este caso. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Algo en el fondo de mi mente dice que hay una versión cuántica/modificación del teorema de Noethers, pero espero no desorientarte si la versión clásica funciona. en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem_(desambiguación)

Respuestas (1)

Primero tenga en cuenta que se puede entender que la ecuación de Schrödinger proviene de una acción. El lagrangiano es

L = ∫   d 3 X ψ † ( X ) ( i ∂ ∂ t − ∇ 2 2 metro ) ψ ( X ) − ψ † ( X ) ψ ( X ) V ( X )

La ecuación de Euler-Lagrange para ψ † ( X ) es exactamente la ecuación de Schrödinger. Dado que la dinámica de ψ ( X ) están determinados por la mecánica lagrangiana de esta manera, el teorema de Noether se aplica sin ninguna salvedad.^^

En particular, este Schrödinger Lagrangiano tiene un tu ( 1 ) simetría correspondiente a ψ ( X ) ↦ mi i α ψ ( X ) . La densidad de corriente de carga conservada correspondiente es

ρ = j 0 = ∂ L ∂ ψ ˙ d ψ = ψ † ψ ( X )
j → i = ∂ L ∂ i ψ d ψ + ∂ L ∂ i ψ † d ψ † = i 2 metro ( ( ∂ i ψ † ) ψ − ψ † ∂ i ψ ) ,
que es la conocida densidad de corriente de probabilidad.

^^ En la mecánica cuántica no relativista, la función de onda ψ ( X ) es una variable "clásica" en el sentido de que es simplemente una función del espacio y el tiempo para C . El teorema de Noether funciona exactamente igual que en la mecánica clásica. En la teoría cuántica de campos, los objetos relevantes ψ ( X ) se convierten en operadores cuánticos y los argumentos habituales tienen que modificarse un poco.

+1 podrías querer decir, con advertencias en tu publicación. No es gran cosa en esta pregunta, solo una respuesta de sí/no/no sé está bien, pero con los campos como operadores, ¿tendrían algún sentido las identidades de Ward en mi comentario anterior, si conoce QFT?
Un pequeño detalle: el teorema de Noether no se puede usar "solo" como en la mecánica clásica, ya que puede formular la mecánica cuántica en el formalismo hamiltoniano y lagrangiano (ver, por ejemplo, el libro de Marsden y Ratiu sobre Mecánica Clásica), simplemente es el teorema de Noether.
Probablemente necesitemos usar otro Lagrangiano ya que su expresión no da la ecuación de Schrödinger conjugada compleja − i ℏ ∂ ψ ∗ ∂ t = V ψ ∗ . es importante porque ψ y ψ ∗ no son independientes, y si el Lagrangiano da diferentes ecuaciones para ellos entonces tenemos más restricciones para una solución ψ . Sugiero usar este formulario: L ( ψ , ∂ ψ ∂ t , ψ ∗ , ∂ ψ ∗ ∂ t ) = ( V − ℏ 2 2 metro Δ ) | ψ | 2 + i ℏ ψ ∂ ψ ∗ ∂ t
Desafortunadamente, no encontré ninguna literatura sobre un Lagrangiano para la ecuación de Schrödinger, por lo que también podría cometer un error.
¿Cómo se puede usar el teorema de Noether para demostrar que la densidad de probabilidad satisface una ecuación de continuidad?
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