Espinores y probabilidades del par electrón-positrón

Question:

Un electrón y un positrón se mueven en direcciones opuestas y se encuentran en el estado de singlete de espín. Dos máquinas de Stern-Gerlach están orientadas en alguna dirección arbitraria; uno a lo largo del vector unitario$\hat{s}_1$(que mide la posición del electrón) y uno a lo largo del vector unitario$\hat{s}_2$(que mide la posición del positrón).

1) Encuentre los autoespinores de electrones y positrones en términos de coordenadas esféricas$\theta_1$y$\phi_1$(correspondiente$\hat{s}_1$) y$\theta_2$y$\phi_2$(correspondiente$\hat{s}_2$).

2) Calcule las probabilidades de obtener todos los resultados de espín posibles (tanto partículas hacia arriba, electrones hacia arriba, positrones hacia abajo, etc.) y simplifique usando cosenos direccionales para reemplazar los ángulos.

Attempt: Tanto el electrón como el positrón son partículas de espín medio. Definamos

$$\hat{s}_1=\hat{i}\sin\theta_1\cos\phi_1+\hat{j}\sin\theta_1\sin\phi_1+\hat{k}\cos\theta_1$$ $$\hat{s}_2=\hat{i}\sin\theta_2\cos\phi_2+\hat{j}\sin\theta_2\sin\phi_2+\hat{k}\cos\theta_2$$

Si observamos el electrón, podemos contraer la matriz de espín$S_1$, que representa el momento angular de espín a lo largo de la$\hat{s}_1$posición:

$$S_1=S\cdot \hat{s}_1=S_x\sin\theta_1\cos\phi_1+S_y\sin\theta_1\sin\phi_1+S_z\cos\theta_1$$ $$\rightarrow S_1=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\theta_1 & e^{-i\phi_1}\sin\theta_1\\ e^{i\phi_1}\sin\theta_1 & -\cos\theta_1 \end{pmatrix}$$

Aquí, he utilizado las matrices de Pauli.$S_x$,$S_y$, y$S_z$. A partir de aquí, uno encuentra que los valores propios son

$$\lambda=\pm \frac{\hbar}{2}$$

Conectando, obtenemos los eigenspinors normalizados$\chi_+^1$y$\chi_-^1$, correspondientes a las direcciones de giro hacia arriba y hacia abajo, respectivamente:

$$\chi_+^1=\begin{pmatrix} \cos(\theta_1/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^1=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_1/2) \\ -\cos(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$

Ahora podemos encontrar el espinor genérico$\chi^1$:

$$\chi^1=\left (\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\chi_+^{(1)}+\left (\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)\chi_-^{(1)}$$

Sin embargo, ¿obtendría básicamente las mismas expresiones para el positrón, solo que con diferentes ángulos: es decir,

$$\chi_+^2=\begin{pmatrix} \cos(\theta_2/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^2=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_2/2) \\ -\cos(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$

Sé que tanto el electrón como el positrón son de espín.$1/2$, pero ¿eso significa que sus eigenspinors se verían casi idénticos?

Además, tengo una pregunta sobre la parte 2. Sé que, si estamos midiendo, digamos,$S_y$, entonces la probabilidad de obtener un giro hacia arriba sería$[(\chi_+^{(y)})^\dagger \chi]^2$. Sin embargo, aquí tenemos un sistema de dos partículas, entonces eso significa que la probabilidad de obtener, digamos, un giro hacia arriba del electrón y un giro hacia abajo del positrón sería$[(\chi_+^{(1)})^\dagger \chi^1]^2\cdot [(\chi_-^{(2)})^\dagger \chi^2]^2$, es decir, multiplicas las probabilidades separadas? Además, ¿qué significa expresar la probabilidad en "cosenos direccionales"?

Gracias de antemano.