¿Cómo se justifica en geometría euclidiana tomar un punto arbitrario?

Los axiomas de Euclides en realidad no se ocupan de las hipótesis extremadamente antinaturales como "¿y si no existen puntos al otro lado de la línea?" Se caen incluso si se trata de hipótesis ligeramente antinaturales como "¿qué pasa si dibujas un círculo?"$CD$en la prueba de esa proposición, pero falla en intersecar la línea?" Por lo demás, las definiciones, postulados y nociones comunes de Euclides nunca especifican lo que significa, en la prueba de I.12, porque$D$estar al otro lado de$AB$de$C$.

En general, los axiomas de Euclides son lo suficientemente rigurosos para discusiones como: "Una vez que aceptamos que estamos trabajando en geometría básicamente normal, ¿quién puede decir que cuando construyes este ángulo recto, realmente es un ángulo recto?" No son adecuados para críticas como: "Bueno, si no estamos trabajando en geometría normal sino en un espacio extraño que técnicamente satisface todos los postulados que has dado, entonces tal o cual punto simplemente no existe". ."

Para eso, iría a un enfoque más moderno como los axiomas de geometría de Hilbert . Estos en particular proporcionan más formas de convocar puntos a la existencia.

Por ejemplo, para justificar la construcción del punto$D$en la demostración de la proposición I.12 de Euclides, podríamos elegir cualquier punto$X$en línea$AB$, y usamos el axioma de segundo orden de Hilbert para decir que hay un punto$D$en línea$CX$tal que$X$entre mentiras$C$y$D$.

• Cómo lo sabemos$D$está al otro lado de la línea$AB$de$C$? Bueno, a Hilbert, "$P$está al otro lado de la línea$\ell$de$Q$" significa "líneas$PQ$y$\ell$se cruzan en un punto entre$P$y$Q$". Aquí, tenemos tal intersección de$AB$y$CD$: punto$X$.
• ¿Qué pasa con el punto arbitrario?$X$? Esta parte es solo un recurso retórico para decir que la ubicación de$X$no importa Ciertamente sabemos que los puntos en línea$AB$existe: por ejemplo, podemos tomar$X=A$o$X=B$.

De hecho, me imagino que en varios casos, el uso de Euclides de "punto arbitrario" es un dispositivo retórico similar. En los casos en los que no tenemos motivos para ser escépticos de que exista tal punto (¡tal vez ya tengamos varios de esos puntos!), simplemente significa que el punto no tiene que ser un punto específico, lo que hace que la construcción sea más fácil de leer.

(Por ejemplo, "dejar$X$ser un punto arbitrario en la línea$AB$" siempre es posible, pero "dejemos$X$ser un punto arbitrario en la línea$AB$otro que$A$o$B$" necesita justificación, aunque en este caso, se podría argumentar que el segundo postulado de Euclides lo justifica).