La función espectral en la física de muchos cuerpos y su relación con las cuasipartículas

Question

La función espectral en la física de muchos cuerpos y su relación con las cuasipartículas

Roberto filtro

Recientemente, me topé con un concepto que podría ser muy útil para comprender las cuasipartículas y las teorías efectivas (y podría arrojar luz sobre la cuestión de cómo calcular las propiedades de las cuasipartículas de fotones ): la función espectral

A (k, ω) \equiv - 2 ℑ GRAMO (k, ω)

$A\left(\mathbf{k},\omega \right) \equiv -2\Im G\left(\mathbf{k},\omega \right)$

como se indica, por ejemplo, en la función espectral de cuasipartículas en grafeno dopado ( en arXiv ).

Se usa ampliamente en la física de muchos cuerpos de sistemas que interactúan y contiene la información equivalente a la función de Green. $G$ . Para partículas libres, $A$ tiene un $\delta$ -Forma puntiaguda y se ensancha en el caso de las interacciones.

Lo interesante físico es, como leí, cuasipartículas de sistemas que interactúan se pueden encontrar si $A$ también es de alguna manera alcanzó su punto máximo en este caso. No entiendo esta relación, de ahí mi pregunta:

¿Cuál es la relación del pico de la función espectral con la existencia de cuasipartículas en sistemas que interactúan?

Gracias de antemano
Atentamente

Roberto

dmckee --- gatito ex-moderador

También encontrará el término "función espectral" en la física nuclear, donde desempeña el papel de distribuciones de energía y momento (medidas en alguna interacción) para componentes nucleares. Sin estar familiarizado con la aplicación que cita, parece tener un significado similar.

Roberto filtro

@dmckee: Gracias por esta conexión. Si puedo poner mis manos en

A

$A$ en este sentido, tendré que mirar si a su vez puedo entender algo de la física nuclear también :) Saludos

Respuestas (2)

La función espectral en la física de muchos cuerpos y su relación con las cuasipartículas

También encontrará el término "función espectral" en la física nuclear, donde desempeña el papel de distribuciones de energía y momento (medidas en alguna interacción) para componentes nucleares. Sin estar familiarizado con la aplicación que cita, parece tener un significado similar.
@dmckee: Gracias por esta conexión. Si puedo poner mis manos en $A$ en este sentido, tendré que mirar si a su vez puedo entender algo de la física nuclear también :) Saludos

Motl de Luboš · Answer 1

Motl de Luboš

Estimado Robert, la respuesta a su pregunta es trivial y su declaración se mantiene prácticamente por definición.

Ya sabes, las funciones de Green contienen términos como

GRAMO (ω) = \frac{k}{ω - ω_{0} + i ϵ}

$G(\omega) = \frac{K}{\omega-\omega_0+i\epsilon}$ dónde

ϵ

$\epsilon$ es un número positivo real infinitesimal. La parte imaginaria es

- 2 ℑ (GRAMO) = 2 π d (ω - ω_{0})

$-2\Im(G) = 2\pi \delta(\omega-\omega_0)$ Entonces es la función delta de Dirac ubicada en el mismo punto

ω

$\omega$ que determina la frecuencia o energía de las especies de partículas. En

ω_{0}

$\omega_0$ , ahí es donde se localiza el espectro en mi caso. Si hay muchos objetos posibles, el

G

$G$ y su parte imaginaria serán sumas de muchos términos.

Esta función delta era para una partícula de una masa bien definida (o frecuencia, omití los momentos). Si la partícula es inestable, o casi inestable, el pico pronunciado de la función delta se convertirá en una protuberancia más suave, pero aún hay una protuberancia.

Debido a que no describió lo que quiere decir con "pico" con mayor precisión, tampoco puedo hacerlo. Es una pregunta cualitativa y te di una respuesta cualitativa.

Saludos LM

Roberto filtro

Gracias por su respuesta. ¿Podría comentar por qué las cuasipartículas en los sistemas que interactúan corresponden a picos de

A

$A$ - ¿Puede uno, por ejemplo, ver pares de cobre y derivar la teoría BCS (para la cual obviamente no soy un experto) desde este punto de vista? Además, ¿se puede aplicar esto a sistemas compuestos con diferentes

G

$G$ para diferentes dominios junto con las condiciones de contorno apropiadas? Lo siento por el comentario extenso y la pregunta quizás no tan aguda. Saludos

genero

Hay un poco más en esto. La función espectral se puede medir casi directamente (p. ej., con ARPES o experimentos de túneles de superficie), por lo que es un vínculo muy importante entre el experimento y la teoría. La verdadera diversión comienza cuando la función espectral no muestra un pico dominante...

Roberto filtro

@genneth: ¡Gracias por la información adicional! Es posible que desee considerar hacer otra buena respuesta de su comentario con algunas referencias y más explicaciones :) - Supongo que la mayoría de las personas no leen los comentarios. Saludos

ruben verresen

Sólo como un apéndice matemático: para ver que

- I (lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{x + i ϵ}) = π δ (x)

$-\mathfrak I \left( \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{x+i\epsilon} \right) = \pi \delta(x)$ , tenga en cuenta que el lado izquierdo es igual a

lim_{ϵ \to 0} \frac{ϵ}{x^{2} + ϵ^{2}}

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$ . Esto es claramente cero para cualquier

x \neq 0

$x \neq 0$ . Sin embargo, tenga en cuenta que se integra a

lim_{ϵ \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{ϵ}{x^{2} + ϵ^{2}} d x = lim_{ϵ \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{y^{2} + 1} d y = π

$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} \mathrm d x = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{y^2+1} \mathrm d y = \pi$ (dónde

y = \frac{x}{ϵ}

$y = \frac{x}{\epsilon}$ ). Estas dos propiedades caracterizan de manera única a la

δ

$\delta$ -función.

Motl de Luboš

Estimado @RubenVerresen: es aproximadamente correcto y la conclusión está bien en este caso, pero creo que su declaración general no es correcta. Todas las combinaciones de derivadas de funciones delta son "cero" para distintas de cero

x

$x$ , y su integral sobre reales es cero, pero no son múltiplos de la función delta en sí. Sin embargo, debido a que la fracción es estrictamente positiva, uno puede saber que aquí no se incluyen derivados de delta.

ruben verresen

Buen punto, gracias por la corrección! La falla en mi razonamiento fue que pensé que si

g (x)

$g(x)$ es cero para cualquier

x \neq 0

$x \neq 0$ , entonces para todos

f (x)

$f(x)$ podríamos escribir

\int f (x) g (x) d x = f (0) \int g (x) d x

$\int f(x) g(x) \mathrm d x = f(0) \int g(x) \mathrm d x$ . (Igualar la segunda integral a la unidad daría entonces la función delta.) Pero de manera más general, debería haberme dado cuenta

\int f (x) g (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} \int x^{n} g (x) d x

$\int f(x) g(x) \mathrm d x =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int x^n g(x) \mathrm d x$ (ya que incluso para

n > 0

$n>0$ el lado derecho puede dar valores distintos de cero, lo cual es, por supuesto, si

g

$g$ es una derivada de la función delta, como usted señala).

usuario23067 · Answer 2

La función espectral da el número de estado (o densidad de estado si divide el volumen, etc.). El pico significa que hay un estado o hay varios estados degenerados allí. En el sistema de una sola partícula, la función espectral son solo conjuntos de funciones delta donde están los estados propios. Considerando la interacción de muchos cuerpos (por ej.: interacción electrón-electrón, interacción electrón-fonón... etc. en Materia Condensada) en el hamiltoniano como un término de perturbación y calculando la solución aproximada en algún grado, los nuevos estados propios ket podrían llamarse cuasipartículas . A veces llamamos a esta partícula como "electrón vestido". Es solo una aproximación que fusiona esas complicadas interacciones y electrones en una "cuasipartícula". Por lo tanto, la función espectral no podría ser tan simple como un conjunto de funciones delta en un sistema de un solo electrón, pero se relaciona con la interacción, que agrega un término llamado "autoenergía" en la función espectral. La parte real de la energía propia cambia la posición máxima, la parte imaginaria cambia el tiempo de vida del estado.

puedes ver el ch1 & ch2 en este libro: Green's Functions and Condensed Matter por G.Rickayzen.

Espero que este mensaje te ayude.

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Roberto filtro

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Roberto filtro

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Roberto filtro

ruben verresen

Motl de Luboš

ruben verresen

usuario23067

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