¿Es la función Green una receta para una conexión?

Question

¿Es la función Green una receta para una conexión?

FraSchelle

Estoy tratando de aprender la conexión en el paquete de fibra principal. Por lo que puedo ver, la conexión es solo una receta dada para que el campo/función desplazado en el espacio base permanezca en el subconjunto horizontal del espacio global. [El espacio global y el espacio base están relacionados por una clase de equivalencia de simetría de calibre, el espacio base identifica dos puntos relacionados por una transformación de calibre del espacio global] En otras palabras, una conexión es otra palabra para desplazamiento paralelo. Entonces relaciona el campo/función en la posición $x$ al cercano $x+\epsilon$ infinitesimal cerca de la posición anterior.

Una relación básica interesante con respecto a la conexión es la derivada covariante, definida en Peskin y Schroeder (ec. 15.4) [ver la referencia al final] como

{norte}^{m} D_{m} Ψ = \underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{1}{ϵ} [Ψ (X + ϵ norte) - tu (X + ϵ norte, X) Ψ (X)]

$n^{\mu}D_{\mu}\Psi=\underset{\epsilon\rightarrow0}{\lim}\dfrac{1}{\epsilon}\left[\Psi\left(x+\epsilon n\right)-U\left(x+\epsilon n,x\right)\Psi\left(x\right)\right]$

dónde $D_{\mu}$ es la derivada covariante, $\Psi(x)$ el campo, y $n$ el vector a lo largo del cual se desplaza el campo, y $U\left(y,x\right)$ describe la propagación del campo $\Psi$ a lo largo de la trayectoria $x\rightarrow y$ . Para dos puntos distantes, $U$ se convierte en la línea de Wilson (ecuación 15.53, después de elegir un camino).

Si todo lo que he dicho es correcto hasta ahora (por favor corríjame de lo contrario), aquí está mi pregunta:

Me pregunto acerca de la función de Green, que también es una especie de receta para el desplazamiento de un campo a lo largo de una trayectoria. ¿Tiene algo que ver con una conexión (definida matemáticamente correctamente) en un paquete de fibra? Tengo la sensación de que da un camino peculiar entre todos los permitidos. ¿Está justificado este sentimiento?

Más detalles sobre cómo llegué a esta pregunta: en Peskin y Schroeder, me interesó particularmente la definición de una transformación de calibre aplicada a su $U$ . Se define como (eq.15.3)

tu (y, X) \to V (y) tu (y, X) V^{- 1} (X)

$U\left(y,x\right)\rightarrow V\left(y\right)U\left(y,x\right)V^{-1}\left(x\right)$

el $\rightarrow$ símbolo que significa transformación de calibre . Esta ley de transformación es la misma que para una función de Green definida como

GRAMO \propto ⟨ Ψ (y) Ψ^{†} (X) ⟩

$G\propto\left\langle \Psi\left(y\right)\Psi^{\dagger}\left(x\right)\right\rangle$

así que me preguntaba sobre el valor infinitesimal de $G\left(x\rightarrow y \right)$ lo cual no está claro debido a la discontinuidad () digamos que estoy hablando de fermión). Pero sigue atrayéndome. Además, es claro que tener la misma ley de transformación no es suficiente para hacer ninguna prueba.

ME Peskin y DV Schroeder Introducción a la teoría cuántica de campos Fronteras en física (1995)

Miguel

Me arriesgaría a adivinar: no. Primero, una función de Green es una medida de las correlaciones entre el campo en diferentes puntos, no el desplazamiento de un punto a otro (la interpretación como un propagador de partículas viene después del LSZ y la invocación del negocio de estados asintóticos libres). En segundo lugar, una función de Green (2 puntos) es bilineal en el campo, a diferencia de una derivada o conexión covariante que es lineal. Así que me inclino en contra de la idea, pero realmente no lo sé. Tendría que ser algún tipo de paquete extraño que nunca había visto antes (que ciertamente no sería algo difícil de conjurar, apuesto).

Trimok

"Me pregunto sobre la función de Green, que también es una especie de receta para el desplazamiento de un campo a lo largo de una trayectoria". ¿Qué trayectoria? En el ámbito del campo, una función de Green de 2 puntos es como:

GRAMO (X, y) \sim (\frac{d}{d j (X)} \frac{d}{d j (y)} W (j))_{j = 0}

$G(x,y) \sim ( \frac{\delta}{\delta J(x)} \frac{\delta}{\delta J(y)} W(J))_{J = 0}$ Si haces una transformación de Legendre:

W (J) = Γ (Φ) + \int d x J (x) Φ (x)

$W(J) = \Gamma(\Phi) + \int ~dx J(x)\Phi(x)$ , usted tendrá

GRAMO (X, y) \sim \frac{d ϕ (X)}{d j (y)}

$G(x,y) \sim \frac{\delta \phi(x)}{\delta J(y)}$

FraSchelle

@MichaelBrown Eso es precisamente porque es bilineal que me cuesta entender si mi pregunta tiene algún sentido... :-( Pero aún así la interpretación de la correlación suena atractiva: creo que conecta dos puntos diferentes. Me gustaría entender ¿cómo?

FraSchelle

@Trimok Estaba más o menos pensando en la definición más conveniente

G \propto ⟨ Ψ (x_{1}) Ψ^{†} (x_{2}) ⟩

$G\propto\left\langle \Psi\left(x_{1}\right)\Psi^{\dagger}\left(x_{2}\right)\right\rangle$ que conecta (en un sentido aún por definir, y que en cierto modo era parte de mi pregunta) puntos

x_{1}

$x_{1}$ apuntar

x_{2}

$x_{2}$ . La trayectoria también hay que definirla, estoy de acuerdo contigo, pero esto siempre se puede hacer infinitesimalmente. ¿Crees que se puede encontrar algo así en la literatura sobre instantones, por ejemplo (donde la trayectoria será más clara, creo: la clásica del espacio de fase)?

Trimok

Al menos en QFT, uno puede imaginar un instanton para cuantificar la tunelización entre diferentes vacíos topológicos, por lo que tiene que ver con la topología (o el tratamiento no perturbativo), pero no con el tratamiento perturbativo. Así que no veo ninguna relación.

FraSchelle

@Trimok Ahora veo tu punto. No definí una función de Green como necesariamente una solución perturbativa. Definí la función de Green como la solución de una ecuación diferencial.

Trimok

Tal vez me equivoque, pero creo que estas 2 definiciones (soluciones perturbativas y ecuaciones diferenciales) son sinónimos.

FraSchelle

@Trimok Lo siento entonces, ese es mi error. Usted se opuso a la topología y al tratamiento perturbativo de una manera que no entendí. Pensé que asociabas la función de Green con la expansión de la perturbación, que de hecho es la razón principal por la que se inventaron. Solo los veo (para el propósito de esta pregunta) como conectando dos puntos en el espacio. Tal vez tenga que refrescar mi memoria sobre la diferencia entre la función de Green y el propagador (como la función que describe la propagación entre dos puntos). Gracias por tu comentario.

Trimok

Sí, las funciones de Green están asociadas con el tratamiento perturbativo, y los propagadores y las funciones de Green son aproximadamente lo mismo (el propagador es una función de Green de 2 puntos). Cuando dices que las funciones de Green conectan 2 puntos en el espacio-tiempo, creo que no es correcto, un mejor punto de vista es ver las funciones de Green como

c o r r e l a t i o n s

$correlations$ de algún campo entre sus valores en 2 puntos diferentes. Los instantons son "bestias" topológicas. Hay una diferencia conceptual entre geometría y topología. Por ejemplo, el toro tiene una geometría plana, pero su topología no es la misma que la del plano.

Respuestas (2)

¿Es la función Green una receta para una conexión?

Me arriesgaría a adivinar: no. Primero, una función de Green es una medida de las correlaciones entre el campo en diferentes puntos, no el desplazamiento de un punto a otro (la interpretación como un propagador de partículas viene después del LSZ y la invocación del negocio de estados asintóticos libres). En segundo lugar, una función de Green (2 puntos) es bilineal en el campo, a diferencia de una derivada o conexión covariante que es lineal. Así que me inclino en contra de la idea, pero realmente no lo sé. Tendría que ser algún tipo de paquete extraño que nunca había visto antes (que ciertamente no sería algo difícil de conjurar, apuesto).
"Me pregunto sobre la función de Green, que también es una especie de receta para el desplazamiento de un campo a lo largo de una trayectoria". ¿Qué trayectoria? En el ámbito del campo, una función de Green de 2 puntos es como: $GRAMO (X, y) \sim (\frac{d}{d j (X)} \frac{d}{d j (y)} W (j))_{j = 0}$ $G(x,y) \sim ( \frac{\delta}{\delta J(x)} \frac{\delta}{\delta J(y)} W(J))_{J = 0}$ Si haces una transformación de Legendre: $W(J) = \Gamma(\Phi) + \int ~dx J(x)\Phi(x)$ , usted tendrá $GRAMO (X, y) \sim \frac{d ϕ (X)}{d j (y)}$ $G(x,y) \sim \frac{\delta \phi(x)}{\delta J(y)}$
@MichaelBrown Eso es precisamente porque es bilineal que me cuesta entender si mi pregunta tiene algún sentido... :-( Pero aún así la interpretación de la correlación suena atractiva: creo que conecta dos puntos diferentes. Me gustaría entender ¿cómo?
@Trimok Estaba más o menos pensando en la definición más conveniente $G\propto\left\langle \Psi\left(x_{1}\right)\Psi^{\dagger}\left(x_{2}\right)\right\rangle$ que conecta (en un sentido aún por definir, y que en cierto modo era parte de mi pregunta) puntos $x_{1}$ apuntar $x_{2}$ . La trayectoria también hay que definirla, estoy de acuerdo contigo, pero esto siempre se puede hacer infinitesimalmente. ¿Crees que se puede encontrar algo así en la literatura sobre instantones, por ejemplo (donde la trayectoria será más clara, creo: la clásica del espacio de fase)?
Al menos en QFT, uno puede imaginar un instanton para cuantificar la tunelización entre diferentes vacíos topológicos, por lo que tiene que ver con la topología (o el tratamiento no perturbativo), pero no con el tratamiento perturbativo. Así que no veo ninguna relación.
@Trimok Ahora veo tu punto. No definí una función de Green como necesariamente una solución perturbativa. Definí la función de Green como la solución de una ecuación diferencial.
Tal vez me equivoque, pero creo que estas 2 definiciones (soluciones perturbativas y ecuaciones diferenciales) son sinónimos.
@Trimok Lo siento entonces, ese es mi error. Usted se opuso a la topología y al tratamiento perturbativo de una manera que no entendí. Pensé que asociabas la función de Green con la expansión de la perturbación, que de hecho es la razón principal por la que se inventaron. Solo los veo (para el propósito de esta pregunta) como conectando dos puntos en el espacio. Tal vez tenga que refrescar mi memoria sobre la diferencia entre la función de Green y el propagador (como la función que describe la propagación entre dos puntos). Gracias por tu comentario.
Sí, las funciones de Green están asociadas con el tratamiento perturbativo, y los propagadores y las funciones de Green son aproximadamente lo mismo (el propagador es una función de Green de 2 puntos). Cuando dices que las funciones de Green conectan 2 puntos en el espacio-tiempo, creo que no es correcto, un mejor punto de vista es ver las funciones de Green como $correlations$ de algún campo entre sus valores en 2 puntos diferentes. Los instantons son "bestias" topológicas. Hay una diferencia conceptual entre geometría y topología. Por ejemplo, el toro tiene una geometría plana, pero su topología no es la misma que la del plano.

David Bar Moshé · Answer 1

La respuesta es positiva si permite variedades infinitas dimensionales, es decir, el paquete no estará sobre el espacio o el espacio-tiempo sino sobre el espacio de estado cuántico que es una variedad infinita dimensional excepto para los sistemas de niveles discretos.

En realidad, esta es la descripción básica de la formulación geométrica de la mecánica cuántica. Consulte: Mecánica cuántica geométrica de Brodly y Hughston.

La construcción básica es la siguiente: Se considera el espacio de Hilbert del sistema cuántico. Los distintos estados cuánticos puros del sistema pueden identificarse con el espacio proyectivo de este espacio de Hilbert (es decir, el espacio de clases de equivalencia de puntos que se encuentran en la misma línea que pasa por el origen). Por supuesto, esto se debe al hecho de que una fase general no es importante en la mecánica cuántica.

En el caso del nivel discreto, este espacio será solo un espacio proyectivo complejo $\mathbb{C}P_N$ . En el caso más general, el espacio de fase cuántica es un espacio de Hilbert proyectivo $\cal{PH}$ . Este espacio tiene propiedades muy destacables:

Primero, es una variedad simpléctica, por lo que define un sistema dinámico clásico.

En segundo lugar, es Kähler, por lo que podemos utilizar las poderosas herramientas de la geometría compleja en su análisis.

En tercer lugar, es cuantificable, es decir, si básicamente aplicamos las reglas de Dirac de cuantificación canónica al sistema clásico mencionado anteriormente, obtendremos nuestro sistema cuántico original. Los vectores de estado del sistema cuántico son secciones de un haz de líneas sobre el espacio proyectivo de Hilbert. Este paquete de líneas posee una conexión $A$ que tiene las propiedades requeridas en la pregunta. La curvatura de esta conexión es la famosa forma de Fubini-Study

Ahora bien, es evidente que tomar el espacio proyectivo de Hilbert como variedad base no es un inconveniente, ya que en principio podemos optar por trabajar en base a estados de posición habitualmente utilizados en la formulación de funciones de Green.

La evolución del sistema cuántico estará gobernada por un operador en el espacio de Hilbert cuyos elementos de la matriz están dados por el hamiltoniano del sistema. $H$ .

La conexión anterior aparece en la formulación de la integral de trayectoria del operador de evolución:

k_{H} (X, y, t) = ⟨ X | {mi}^{i H t} | y ⟩ = \int_{PAG H} D z {mi}^{i \int_{X, 0}^{y, t} A (z) d z - H (z) d t}

$K_H(x, y, t) = \langle x | e^{iHt}|y \rangle = \int_{\cal{PH}}\mathcal{D}z e^{i\int_{x, 0}^{y, t} A(z) dz -H(z)dt}$

Aquí $x$ y $y$ en el operador de evolución corresponden a puntos espaciales y en el de trayectoria las integrales corresponden a los estados de posición.

Por supuesto, la función de Green se puede obtener del operador de evolución mediante:

{GRAMO}_{mi} (X, y) = \int_{0}^{\infty} d t k_{mi - H} (X, y, t) d t

$G_E(x,y) = \int_0^{\infty} dt K_{E-H}(x,y,t) dt$

Perdón por mi comentario tardío: Muchas gracias por esta descripción. ¿Diría que mi pregunta fue estúpida: un propagador tiene más que ver con (una especie de) la integral de ruta de Wilson que con una conexión per se? Gracias de nuevo.

Cristóbal · Answer 2

Como nadie se ha molestado en formular una respuesta, lo intentaré, pero no hay garantías sobre la precisión:

Por lo que puedo ver, la conexión es solo una receta dada para que el campo/función desplazado en el espacio base permanezca en el subconjunto horizontal del espacio global.

En realidad, la conexión define los subespacios horizontales.

Hay diferentes maneras de caracterizar una conexión, por ejemplo, como un subvector paquete del paquete tangente complementario al paquete vertical, como el proyector asociado (que se puede realizar como una forma de álgebra de Lie valorada en 1 en el caso de paquetes principales: el campo de calibre ), como operador diferencial o como prescripción para el transporte paralelo.

Por el contrario, las funciones de Green son funciones de correlación de un campo en particular. La función de Green de dos puntos es solo el propagador, la solución fundamental de las ecuaciones de movimiento.

Cuando usa el propagador para 'desplazar' su campo, resuelve las ecuaciones de movimiento. Cuando usa la conexión (es decir, transporta los valores en paralelo), termina con un campo constante, para una noción general de 'constante' dependiente de la ruta.

¿Es la función Green una receta para una conexión?

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