Obtener una ecuación integral equivalente a partir de una dada

Question

Obtener una ecuación integral equivalente a partir de una dada

Física
Transformada de Fourier
física-matemática

TheoPhysicae

Estoy leyendo un periódico y no entiendo algunos de los cálculos. Nos dan una ecuación integral con condiciones de contorno asintóticas

$\rho_+(u)=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{|v|>\mu}^{}\mathrm{d}v\,\frac{2\hbar \rho_+(v)}{(u-v)^2+\hbar^2}$

$\rho_+(u)=\ln(|u|)-\frac{1}{2} \ln\left(\Xi\right)+O(u-1),\,u\rightarrow\infty$

$\rho_+$ es una densidad de ceros y $\ln(\Xi)$ puede verse como una densidad de partículas. Pero el significado exacto no es importante para cálculos posteriores. La primera integral se extiende sobre $\mathbb{R}$ exceder el intervalo $[-\mu,\mu]$ , donde tenemos $\rho_+=0$ .

Ahora una nueva función $\rho_-$ se define como $\rho_-(u)=\begin{cases} 0 &\mbox{if } |u|\geq\mu \\ -\frac{1}{\pi \hbar}[\rho_+(u)-\frac{1}{\pi}\int\limits_{|v|>\mu}^{}\mathrm{d}v\,\frac{\hbar \rho_+(v)}{(u-v)^2+\hbar^2} & \mbox{if } |u|<\mu \end{cases}$

con lo cual podemos reescribir la primera ecuación integral como

$\pi\hbar\rho_- +(1-K_+)\rho_+=0$

con $K_+\rho(u)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_+(u-v)\rho(v) \mathrm{d} v$ y $k_+(u)=\frac{1}{\pi} \frac{\hbar}{u^2+\hbar^2}$ .

Hasta ahora todo ESTÁ CLARO. Obviamente, una función constante es una función propia para $K_+$ con valor propio 1 y así $(1-K_+)$ es invertible. Se dice que un operador $K_-$ se puede definir en funciones que se desvanecen en $\infty$ por funciones que desaparecen en $\infty$

$1-K_-=(1-K_+)^{-1}$

Esto todavía está bastante claro, aunque realmente no entiendo, por qué las funciones deben desaparecer en $\infty$ .

Entonces se dice que debido a la degeneración del operador $K_+$ , $K_-$ ist simplemente definido hasta una constante. ¿Qué quiere decir esto? ¿Se debe simplemente al hecho de que toda función constante es una función propia?

Ahora sin ningún cálculo se dice que el kernel $k_-(u)$ es dado por

$k_-(u)=\frac{1}{\pi\hbar} \Psi(1+i\frac{u}{\hbar})+\Psi(1-i\frac{u}{\hbar})+\Delta$

dónde $\Psi(u)=\Gamma\,'(u)/\Gamma(u)$ es la función digamma.

Solo se dice que esto se puede obtener fácilmente mediante la transformada de Fourier. Realmente no tengo mucho conocimiento sobre ecuaciones integrales y no veo cómo se puede encontrar este resultado. ¿Podría por favor alguien mostrarme?

Tengo algunas otras preguntas sobre los siguientes cálculos, pero tal vez me detenga aquí hasta que se resuelva este problema.

qmecanico

¿Qué periódico estás leyendo?

TheoPhysicae

Estoy leyendo un artículo de Sklyanin sobre la cuantización de la red toda. No sé si se me permite adjuntar el pdf, lo haré de todos modos. Puede descargarlo aquí: dropbox.com/s/tju18r0jvb80zdk/Skly85_Toda.pdf La parte con la que estoy luchando comienza en la página 221.

TheoPhysicae

traté de usar

(1 - K_{-}) (1 - K_{+}) ρ = ρ

$(1-K_-)(1-K_+)\rho=\rho$ . Esto da una integral que contiene solo

k_{-}

$k_-$ , uno con solo

k_{+}

$k_+$ y una integral doble. No veo cómo el uso de la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa llevaría a aislar

k_{-}

$k_-$ . Sé cómo usar la transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales, pero no tengo idea de cómo podría usarse aquí.

qmecanico

Tenga en cuenta que

ℏ \equiv η

$\hbar\equiv\eta$ .

Respuestas (1)

Obtener una ecuación integral equivalente a partir de una dada

Estoy leyendo un artículo de Sklyanin sobre la cuantización de la red toda. No sé si se me permite adjuntar el pdf, lo haré de todos modos. Puede descargarlo aquí: dropbox.com/s/tju18r0jvb80zdk/Skly85_Toda.pdf La parte con la que estoy luchando comienza en la página 221.
traté de usar $(1-K_-)(1-K_+)\rho=\rho$ . Esto da una integral que contiene solo $k_-$ , uno con solo $k_+$ y una integral doble. No veo cómo el uso de la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa llevaría a aislar $k_-$ . Sé cómo usar la transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales, pero no tengo idea de cómo podría usarse aquí.

qmecanico · Answer 1

Empezamos con la distribución lorentziana

\begin{matrix} (4.11) & k_{+} (tu) := \frac{1}{π} \frac{η}{{tu}^{2} + η^{2}}; \end{matrix}

$\tag{4.11} k_{+}(u)~:=~ \frac{1}{\pi} \frac{\eta}{u^2+\eta^2};$

con transformada de Fourier

\begin{matrix} (4.11') & {\tilde{k}}_{+} (X) := \int_{R} d tu {mi}^{- i X tu} k_{+} (tu) = {mi}^{- η | X |}; \end{matrix}

$\tag{4.11'} \tilde{k}_{+}(x) ~:=~\int_{\mathbb{R}}\!du ~e^{-ixu} k_{+}(u)~=~e^{-\eta|x|};$

con operador integral

\begin{matrix} (4.10) & (k_{\pm} ρ) (tu) := \int_{R} d v k_{\pm} (tu - v) ρ (v) = (k_{\pm} * ρ) (tu) . \end{matrix}

$\tag{4.10} (K_{\pm}\rho)(u)~:=~\int_{\mathbb{R}}\!dv~ k_{\pm}(u-v)\rho(v) ~=~(k_{\pm}\ast\rho)(u).$

El operador transformado de Fourier es un operador de multiplicación

\begin{matrix} (4.10') & (k_{\pm} ρ)^{\sim} (X) := {\tilde{k}}_{\pm} (X) \tilde{ρ} (X) . \end{matrix}

$\tag{4.10'} (K_{\pm}\rho)^{\sim}(x)~:=~\tilde{k}_{\pm}(x) \tilde{\rho}(x).$

La aplicación repetida del operador integral conduce a convoluciones repetidas

\begin{matrix} (A) & (k_{\pm}^{norte} ρ) (tu) = (\underset{norte factores}{\underset{⏟}{k_{\pm} * \dots * k_{\pm}}} * ρ) (tu), (k_{\pm}^{norte} ρ)^{\sim} (X) := {\tilde{k}}_{\pm}^{norte} (X) \tilde{ρ} (X) . \end{matrix}

$\tag{A} (K_{\pm}^n\rho)(u) ~=~(\underbrace{k_{\pm}\ast\ldots \ast k_{\pm}}_{n\text{ factors}}\ast\rho)(u), \qquad (K_{\pm}^n\rho)^{\sim}(x)~:=~\tilde{k}_{\pm}^n(x) \tilde{\rho}(x).$

Tenga en cuenta que para una función constante $\rho \propto 1$ es una función propia con valor propio 1 para el operador integral $K_{+}$ :

\begin{matrix} (B) & (k_{+} 1) (tu) = \int_{R} d v k_{+} (tu - v) = 1. \end{matrix}

$\tag{B} (K_{+} 1)(u) ~=~\int_{\mathbb{R}}\!dv~ k_{+}(u-v)~=~1.$ Como queremos que el operador

1 - K_{+}

$1-K_{+}$ sea invertible, de ahora en adelante solo consideraremos funciones integrables

ρ : R \to C

$\rho:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ , tal que

\int_{R} d u ρ (u) = 0

$\int_{\mathbb{R}}\!du~\rho(u)=0$ . En particular, excluiremos las funciones constantes

ρ \propto 1

$\rho \propto 1$ . Esto significa que los núcleos

k_{\pm} (u) \to k_{\pm} (u) + Δ_{\pm}

$k_{\pm}(u)\to k_{\pm}(u)+\Delta_{\pm}$ son solo constantes aditivas de módulo definidas

Δ_{\pm}

$\Delta_{\pm}$ .

Además,

\begin{matrix} (C) & 1 - k_{-} = \frac{1}{1 - k_{+}} = \sum_{norte = 0}^{\infty} k_{+}^{norte}, \end{matrix}

$\tag{C} 1-K_{-} ~=~ \frac{1}{1-K_{+}}~=~\sum_{n=0}^{\infty}K_{+}^n ,$

y por eso, ingenuamente,

\begin{matrix} (D) & {\tilde{k}}_{-} (X) = {(1 - \frac{1}{{\tilde{k}}_{+} (X)})}^{- 1} = \frac{1}{1 - {mi}^{η | X |}} . \end{matrix}

$\tag{D} \tilde{k}_{-}(x)~=~\left(1- \frac{1}{\tilde{k}_{+}(x)}\right)^{-1} ~=~\frac{1}{1-e^{\eta|x|}} .$

Sin embargo, la expresión (D) no es integrable en $x=0$ . La solución es regularizar $k_{-}(u)$ con una constante aditiva infinita $\Delta_{-}=\int_{\mathbb{R}}\!\frac{dx}{2\pi}~\frac{e^{-\eta|x|}}{\eta|x|}=\infty$ , de modo que

k_{-} (tu) = \int_{R} \frac{d X}{2 π} [\frac{{mi}^{- η | X |}}{η | X |} + \frac{{mi}^{i X tu}}{1 - {mi}^{η | X |}}] = \int_{0}^{\infty} \frac{d X}{π} [\frac{{mi}^{- η X}}{η X} + \frac{porque (X tu)}{1 - {mi}^{η X}}]

$k_{-}(u)~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\frac{dx}{2\pi} \left[\frac{e^{-\eta|x|}}{\eta|x|}+ \frac{e^{ixu}}{1-e^{\eta|x|}}\right] ~=~\int_{0}^{\infty}\!\frac{dx}{\pi} \left[\frac{e^{-\eta x}}{\eta x} +\frac{\cos(xu)}{1-e^{\eta x}} \right]$

\begin{matrix} (MI) & \overset{t = η X}{=} \sum_{\pm} \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{2 π η} [\frac{{mi}^{- t}}{t} + \frac{Exp (\pm \frac{i tu t}{η})}{1 - {mi}^{t}}] = \frac{1}{2 π η} \sum_{\pm} ψ (1 \pm \frac{i tu}{η}), \end{matrix}

$\tag{E} ~\stackrel{t=\eta x}{=}~\sum_{\pm}\int_{0}^{\infty}\!\frac{dt}{2\pi\eta} \left[\frac{e^{-t}}{t}+\frac{\exp\left(\pm\frac{ iut}{\eta}\right) }{1-e^{t}}\right]~=~\frac{1}{2\pi\eta}\sum_{\pm}\psi(1\pm\frac{iu}{\eta}),$

cf. la función Digamma y Abramowitz & Stegun eq. (6.3.21). Tenga en cuenta que la fórmula final (E) difiere de la fórmula de Sklyanin (4.12) por un factor de 2 en la normalización general.

Referencias:

EK Sklyanin, La cadena de Toda cuántica , Lecture Notes in Physics, 226 (1985) 196.

Perfecto, hablé con uno de mis profesores sobre ese problema y también me dio el consejo de que solo necesito usar el teorema de la convulsión y una representación integral de la función digamma. Sin embargo, realmente no tuve éxito, ¡muchas gracias por esta respuesta!
Hola, tengo otro problema con el papel. Inmediatamente después del cálculo, las condiciones asintóticas para $\rho_-$ son derivados. No veo, de dónde vienen. Pensé que serían triviales, pero ahora, cuando los miro más de cerca, ese ya no es el caso y no estoy seguro de cómo los encontró Sklyanin. ¿Podrías ayudarme de nuevo?

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