¿Cómo entender la interpretación de Hawking de la cuantización del campo?

En el artículo de Hawking "Creación de partículas por agujeros negros", dice lo siguiente:

El operador$\phi$se puede expresar como

$$\phi=\sum_i f_i a_i+\bar{f}_ia_i^\dagger.$$

Las soluciones$\{f_i\}$de la ecuación de onda$f_{i;ab}g^{ab}=0$se puede elegir de modo que en pasado infinito nulo$\mathscr{I}^-$forman una familia completa que satisface la condición de ortonormalidad (1.2) donde la superficie$S$es$\mathscr{I}^-$y para que contengan solo frecuencias positivas con respecto al parámetro afín canónico en$\mathscr{I}^-$. los operadores$a_i$y$a_i^\dagger$tienen la interpretación natural como operadores de aniquilación y creación para partículas entrantes, es decir, para partículas en el infinito pasado nulo$\mathscr{I}^-$.

Ahora es muy probable que me esté perdiendo algo extremadamente básico aquí. Pero, ¿por qué los coeficientes de los modos que son de frecuencia positiva con respecto al parámetro afín canónico en$\mathscr{I}^-$pueden interpretarse como operadores de creación y aniquilación de partículas en$\mathscr{I}^-$?

Sé que el punto básico de QFT es de hecho: (1) elegir un conjunto de modos que estén completos en el producto interno de KG y la frecuencia positiva/negativa con respecto a algún campo vectorial Killing similar al tiempo y (2) expandir el campo en estos modos, tras la cuantificación, los coeficientes se convierten en operadores de creación y aniquilación en un espacio de Fock dando una interpretación de "partícula".

Pero aquí todavía. Aquí tenemos algunos problemas:

1. Los modos no son una frecuencia positiva con respecto a un campo Killing similar al tiempo, sino con respecto a un parámetro que en realidad es una coordenada nula. En ese caso, ¿cómo se justifica que los coeficientes se conviertan en operadores de creación y aniquilación al cuantificar?

2. Aún así, no puedo ver por qué podemos interpretar los operadores de creación y aniquilación resultantes como la creación y aniquilación de partículas en$\mathscr{I}^-$? porque en$\mathscr{I}^-$? ¿Cómo justificamos esto?