Rastro del Operador

Question

Rastro del Operador

kieran

Quiero hacer una pregunta sobre el conocimiento fundamental de la traza del operador an. El operador $A$ es

A = v ({GRAMO}_{r} - {GRAMO}_{a})

$A = v (G_r-G_a)$ donde v es el operador de velocidad del hamiltoniano (

v = d H / d k

$v=dH/dk$ );

G_{r}

$G_r$ y

G_{a}

$G_a$ son funciones verdes retrasadas y avanzadas

{GRAMO}_{r} = \frac{1}{{mi}_{F} - H + i γ}, {GRAMO}_{a} = \frac{1}{{mi}_{F} - H - i γ}

$G_r=\frac{1}{E_f-H+i \gamma},\;\; G_a=\frac{1}{E_f-H-i \gamma}$

E_{f}

$E_f$ es la energía de Fermi del sistema,

H

$H$ es la matriz hamiltoniana,

i

$i$ es el numero complejo

(0.0, 1.0)

$(0.0, 1.0)$ y

γ

$\gamma$ es un número real. Quiero calcular la traza del operador A y tengo la siguiente ecuación

T r (A) = \sum_{i} ⟨ i | v ({GRAMO}_{r} - {GRAMO}_{a}) | i ⟩ = \sum_{i, i} ⟨ i | v | j ⟩ ⟨ j | ({GRAMO}_{r} - {GRAMO}_{a}) | i ⟩ = \sum_{i, j} ⟨ i | v | j ⟩ ⟨ j | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | i ⟩

$\rm{Tr}(A)=\sum_i \langle i|v(G_r-G_a)|i\rangle= \sum_{i,i} \langle i|v|j\rangle \langle j|(G_r-G_a)|i\rangle =\;\;\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ dónde,

G_{r_{i}} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} + i γ}

$G_{r_i}=\frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$ y

G_{a} = \frac{1}{E_{f} - e_{i} - i γ}

$G_a=\frac{1}{E_f-e_i-i\gamma}$ . En otras palabras, la matriz hamiltoniana en

G_{r}

$G_r$ y

G_{a}

$G_a$ se convierte en valor propio.

quiero preguntar si $|i\rangle$ y $j\rangle$ deben ser los vectores propios del operador $A$ ? Poder $|i\rangle$ y $|j\rangle$ ser los vectores propios de $H$ matriz; no de la $A$ ¿operador?

Mi segunda pregunta es que supongamos $A$ es una matriz de 2 por 2 y la matriz de vectores propios $|i\rangle$ o $|j\rangle$ de $H$ es una matriz de 2 por 1. Para calcular

\sum_{i, j} ⟨ i | v | j ⟩ ⟨ j | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | i ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle$ , debo usar la siguiente combinación.

\sum_{i, j} ⟨ i | v | j ⟩ ⟨ j | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | i ⟩ = ⟨ 1 | v | 1 ⟩ ⟨ 1 | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | 1 ⟩ + ⟨ 1 | v | 2 ⟩ ⟨ 2 | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | 1 ⟩ + ⟨ 2 | v | 1 ⟩ ⟨ 1 | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | 2 ⟩ + ⟨ 2 | v | 2 ⟩ ⟨ 2 | ({GRAMO}_{r_{i}} - {GRAMO}_{a_{i}}) | 2 ⟩

$\sum_{i,j}\langle i|v|j\rangle \langle j|(G_{r_i}-G_{a_i})|i\rangle=\langle 1|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 1|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|1\rangle+\langle 2|v|1\rangle \langle 1|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle+\langle 2|v|2\rangle \langle 2|(G_{r_i}-G_{a_i})|2\rangle$ ¿Mi entendimiento es correcto o no? Muchas gracias.

Respuestas (2)

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usuario245141 · Answer 1

Para que su fórmula sea válida, los estados $|i\rangle$ deben ser vectores propios de $H$ con la energía $e_i$ . De lo contrario no obtendrás

⟨ j | {GRAMO}_{r} | i ⟩ = ⟨ j | \frac{1}{{mi}_{F} - {mi}_{i} + i γ} | i ⟩

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle$ como lo que hiciste fue actuar explícitamente con

H

$H$ en el estado a la derecha. Mientras

| j ⟩

$|j\rangle$ puede ser cualquier base de estados, será conveniente que también sean los estados propios del hamiltoniano, ya que esto hará que la suma doble sobre

i

$i$ y

j

$j$ una sola suma, ya que para tales estados

⟨ j | {GRAMO}_{r} | i ⟩ = ⟨ j | \frac{1}{{mi}_{F} - {mi}_{i} + i γ} | i ⟩ = d_{i, j} \frac{1}{{mi}_{F} - {mi}_{i} + i γ}

$\langle j | G_r | i \rangle = \langle j| \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma} |i\rangle = \delta_{i,j} \frac{1}{E_f-e_i+i\gamma}$

Gracias por la respuesta. ¿Podría darme más sugerencias sobre mi segunda pregunta que acabo de agregar a mi publicación?

KF Gauss · Answer 2

El rastro de cualquier matriz/operador será el mismo independientemente de la base que utilice, siempre que estén completos.

Así que no importa si elige vectores propios de $A$ o $H$ , pero debe ser coherente y utilizar la base completa.

Si decide utilizar la base propia de $A$ , entonces no puedes simplemente sustituir la energía escalar $E_i$ para $H$ , debes mantener $H$ un operador. La única excepción es si tiene una base diagonalizable simultáneamente para $A$ y $H$ , lo que rara vez sucede.

mientras que la respuesta es verdadera en general, la fórmula del OP donde uno reemplaza $H$ con sus valores propios se cumple sólo para los vectores propios de $H$ .
@KFGauss Gracias por la respuesta. ¿Podría darme más sugerencias sobre mi segunda pregunta que acabo de agregar a mi publicación?

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