¿Cómo derivar la expresión analítica para la función de Green retardada con hamiltoniano cuadrático?

Question

¿Cómo derivar la expresión analítica para la función de Green retardada con hamiltoniano cuadrático?

Jacobo

Para dos operadores, $A(t)$ y $B(t)$ la función de Green retardada se define como

{GRAMO}^{R} (t, t^{'}) \equiv ⟨ ⟨ A (t) | B (t) ⟩ ⟩^{R} = - i θ (t - t^{'}) ⟨ {A (t), B (t^{'})} ⟩

$\begin{equation} G^R(t,t') \equiv \langle \langle A(t)|B(t) \rangle \rangle^R = -i\theta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle \end{equation}$

entonces se puede demostrar que

\begin{aligned} i \frac{\partial}{\partial t} {GRAMO}^{R} (t, t^{'}) & = d (t - t^{'}) ⟨ {A (t), B (t^{'})} ⟩ - i θ (t - t^{'}) ⟨ {i \frac{\partial A (t)}{\partial t}, B (t^{'})} ⟩ \\ = d (t - t^{'}) ⟨ {A (t), B (t^{'})} ⟩ - i θ (t - t^{'}) ⟨ {[A (t), H (t)], B (t^{'})} ⟩ \\ = d (t - t^{'}) ⟨ {A (t), B (t^{'})} ⟩ + ⟨ ⟨ [A (t), H (t)] | B (t^{'}) ⟩ ⟩^{R} \end{aligned}

$\begin{align*} i\dfrac{\partial}{\partial t} G^R(t,t') & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{i\dfrac{\partial A(t)}{\partial t},B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{[A(t),H(t)],B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle + \langle \langle [A(t),H(t)]|B(t') \rangle \rangle^R \end{align*}$ Si el hamiltoniano

H

$H$ en la imagen de Schrödinger es independiente del tiempo, entonces las funciones de correlación dependen de

(t - t^{'})

$(t-t')$ , no en

t

$t$ y

t^{'}

$t'$ por separado. Podemos ir al espacio de Fourier, la EOM se convierte en

ω ⟨ ⟨ A | B ⟩ ⟩^{R} = ⟨ {A, B} ⟩ + ⟨ ⟨ [A, H] | B ⟩ ⟩^{R} .

$\begin{equation} \boxed{\omega \langle \langle A|B \rangle\rangle^R = \langle \{A,B\} \rangle + \langle \langle [A,H]|B \rangle\rangle^R}. \end{equation}$

Comenzando con esta fórmula , quiero derivar la expresión analítica para la función de Green retardada con el siguiente hamiltoniano $H$ (sistema fermiónico):

H = \sum_{k} X a_{k}^{†} a_{k} + \sum_{metro \neq norte} y (a_{metro}^{†} a_{norte} + a_{norte}^{†} a_{metro})

$\begin{equation} H = \sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \end{equation}$

Esta siguiente es mi solución:

A = a_{s}, B = a_{t}^{†} \Rightarrow ω ⟨ ⟨ a_{s} | a_{t}^{†} ⟩ ⟩^{R} = ⟨ {a_{s}, a_{t}^{†}} ⟩ + ⟨ ⟨ [a_{s}, H] | a_{t}^{†} ⟩ ⟩^{R}

$\begin{equation} \boxed{A=a_s,B=a^\dagger_t} \Rightarrow \omega \langle \langle a_s|a^\dagger_t \rangle \rangle^R = \langle \{a_s,a^\dagger_t\} \rangle + \langle \langle [a_s,H]|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \end{equation}$

\begin{aligned} [a_{s}, H] & = [a_{s}, \sum_{k} X a_{k}^{†} a_{k} + \sum_{metro \neq norte} y (a_{metro}^{†} a_{norte} + a_{norte}^{†} a_{metro})] \\ = \sum_{k} X {a_{s}, a_{k}^{†}} a_{k} + \sum_{metro \neq norte} y {a_{s}, a_{metro}^{†}} a_{norte} + \sum_{metro \neq norte} y {a_{s}, a_{norte}^{†}} a_{metro} \\ = X a_{s} + \sum_{norte} y a_{norte} (s = metro \neq norte) \end{aligned}

$\begin{align*} [a_s,H] & =\left[a_s,\sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \right ]\\ & = \sum_k x \{a_s,a_k^\dagger\}a_k + \sum_{m \neq n} y \{a_s,a_m^\dagger\}a_n +\sum_{m \neq n} y \{a_s,a_n^\dagger\}a_m \\ & = x a_s+ \sum_{n} y a_n \qquad (s=m \neq n) \end{align*}$

ω {GRAMO}_{s t}^{R} = d_{s t} + X {GRAMO}_{s t}^{R} + \sum_{norte} y ⟨ ⟨ a_{norte} | a_{t}^{†} ⟩ ⟩^{R} \Rightarrow {GRAMO}_{s t}^{R} = \frac{d_{s t} + y \sum_{norte} {GRAMO}_{norte t}^{R}}{ω - X}

$\begin{equation} \omega G_{st}^R = \delta_{st} + x G_{st}^R + \sum_n y \langle \langle a_n|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \Rightarrow G_{st}^R = \dfrac{\delta_{st}+y\sum_n G^R_{nt}}{\omega-x} \end{equation}$

Pero este resultado es la solución final? ¿O cómo puedo simplificar aún más mis resultados?

Respuestas (1)

¿Cómo derivar la expresión analítica para la función de Green retardada con hamiltoniano cuadrático?

Sunyam · Answer 1

$\textbf{Quick hint:}$ Usando esta respuesta. Sólo tienes que identificar una forma específica de $\mathbb{H}=\left(x-y\right)\mathbb{I}_{N \times N}^{}+ y \mathbb{J}_{N \times N}^{}$ , con $\mathbb{I}_{N \times N}^{}$ y $\mathbb{J}_{N \times N}^{}$ siendo matriz identidad y matriz de unos respectivamente. $\mathbb{G}_{}^{R}(E)=\left[E\mathbb{I}-\mathbb{H}+i 0_{}^{+}\mathbb{I}\right]_{}^{-1}$ se puede encontrar analíticamente utilizando la fórmula de Sherman-Morrison .

¿Cómo derivar la expresión analítica para la función de Green retardada con hamiltoniano cuadrático?

Jacobo

Respuestas (1)

Sunyam

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