Primeras instancias de un campo de pendiente/dirección para una EDO de primer orden

Fondo

Cuando se encuentran por primera vez con campos de pendientes en cálculo o ecuaciones diferenciales elementales, los estudiantes a menudo preguntan "¿Cuál es el propósito?"

Una respuesta concisa es que los campos de pendiente proporcionan una manera de representar gráficamente una EDO de primer orden de la forma y' = f(x, y). Las representaciones gráficas pueden proporcionar una variedad de conocimientos sobre el comportamiento general de las soluciones, de un vistazo. A menudo no se puede decir lo mismo de las representaciones simbólicas.

Esta respuesta sería más convincente si fuera posible señalar ejemplos del uso de campos de pendientes a lo largo de la historia. Sin embargo, he tenido algunas dificultades para trazar esta historia.

La idea esencial de un campo de pendientes, a saber, que y' = f(x, y) indica la pendiente de la solución que pasa por cualquier (x, y) que elijamos, debe haber estado clara desde el comienzo del cálculo. Se pueden encontrar ejemplos de apoyo en este intercambio de Twitter .

Sin embargo, la primera instancia de (o referencia a) un campo de pendiente real que he encontrado hasta ahora fue a mediados del siglo XX. Véase, por ejemplo, esta nota de 1944 sobre la Enseñanza de ecuaciones diferenciales del American Mathematical Monthly.

Además del intercambio de Twitter anterior, busqué en la web, en Google Scholar y en mi biblioteca personal (que incluye muchos libros de texto y un par de libros de historia de las matemáticas).

Nota: vi la pregunta de Stack Exchange sobre la "Invención del concepto de campo vectorial", pero el concepto de campo vectorial es más general y es difícil aislar cualquier referencia a los campos de pendiente de la respuesta a esa pregunta.

Pregunta

¿Cuál es el caso más antiguo de un campo de pendientes como representación gráfica de la ecuación diferencial de primer orden y' = f(x, y)?

Aquí no me refiero a la idea subyacente de un campo de pendientes, sino a una imagen real, similar a lo que ahora se encuentra comúnmente en los libros de texto introductorios sobre ecuaciones diferenciales elementales.

Me encantaría ver los primeros ejemplos, no necesariamente los primeros. También me encantaría ver las primeras apariciones del término "campo de pendiente" o "campo de dirección", ya que indican la existencia de imágenes reales.

Actualizar

¡Progreso! La pregunta aún no está resuelta, pero he descubierto nuevas pruebas. A partir de las referencias en el artículo de Tournès publicado por Blåsjö a continuación, pude encontrar las siguientes dos fuentes que se suman a la narrativa.

Primero , considere el libro Métodos gráficos de Carl Runge (basado en conferencias dadas en 1909-1910, publicado en 1912). A partir de la pág. 134 (numerado como p. 120 en la copia física) analiza la solución gráfica de las EDO de primer orden.

En la figura 88, muestra el mismo método que Bernoulli describe en la respuesta de Blåsjö, con una adición: dibuja un "lápiz de rayos", que es básicamente un conjunto de vectores. Dado que el vector de dirección indicado por la ecuación diferencial es el mismo para todos los puntos de una isoclina dada, esa isoclina corresponde a un único vector de dirección. El lápiz de rayos representa exactamente esos vectores, y están etiquetados para indicar las isoclinas a las que corresponden.

Si bien Runge evidentemente tiene una razón para hacer esto (más adelante usa el lápiz de rayos para efectuar un cambio de coordenadas), es más difícil esbozar rápidamente múltiples curvas de solución mediante inspección visual usando esta representación gráfica que con un campo de pendientes moderno. , en el que las direcciones se dibujan sobre las isoclinas o se organizan uniformemente en una cuadrícula rectangular. No encontré ninguna aparición de un campo de pendiente en su forma moderna, y ni "campo de pendiente" ni "campo de dirección" aparecen en el texto.

En segundo lugar , considere el libro Guide to Graphical Computing de Rudolf Mehmke , publicado cinco años después, en 1917. Mehmke conocía el libro de Runge (cita una edición de 1914 en la página 98). Él escribe lo siguiente (traducido del alemán usando Google Translate, con un poco de edición: no leo ni escribo alemán).

pag. 116 (he sustituido ecuaciones por números de ecuación en el texto original):

...ecuaciones diferenciales F ( X , y , d y d X ) = 0 y d y d X = F ( X , y ) se puede inferir del sentido geométrico que ellos (en general) asignan una dirección específica a cada punto del plano, el cual debe tener la tangente de la curva integral que pasa por el punto allí, o la ecuación diferencial presentada requiere, como se puede decir , un "campo direccional".

pag. 121 (nota al pie omitida aquí):

Si la dirección de la corriente para un número suficiente de puntos se indica mediante guiones cortos en... una serie de isoclinas (ver Fig. 107), entonces ya se puede dibujar cualquier número de curvas integrales de una manera razonablemente correcta según el ojo.

Esta es exactamente la idea moderna (con la ayuda de las computadoras, a menudo espaciamos estos "guiones" uniformemente a lo largo de una cuadrícula rectangular, pero supongo que dibujarlos solo a lo largo de isoclinas también puede considerarse moderno). Además, se emplea terminología moderna (quizás incluso acuñada).

La evidencia presentada arriba parece indicar que la concepción moderna de un campo de pendientes surgió entre 1912 y 1917. Por supuesto, existe la posibilidad (algo improbable) de que Runge usó la forma moderna pero no la presentó en su libro sobre métodos gráficos. También existe la posibilidad de que Runge no haya usado campos de pendientes en su forma moderna, pero otros sí lo hicieron.

Preguntas actualizadas

  1. ¿Alguien puede encontrar una instancia anterior a 1917, o cualquier otra evidencia que corrobore que los campos de taludes modernos se originaron cerca del año 1917? La evidencia es sugerente pero aún no convincente.

  2. En aras de la exhaustividad, sería bueno ver instancias tempranas de campos de pendientes con segmentos distribuidos uniformemente a lo largo de una cuadrícula rectangular, como ahora es común.

¡Gracias por la ayuda de todos hasta ahora!

Miré algunos libros de ODE más antiguos (anteriores a la década de 1910) en mis estantes y encontré este de 1897 (ver también la Fig. 4 en la página 48 de la edición de 1902 ). Los libros de matemáticas más antiguos, especialmente antes de 1900, tenían muy pocos diagramas excepto los necesarios para seguir la discusión del texto. Si ayuda, los viejos libros de ecuaciones diferenciales a menudo tienen diagramas donde se discuten sobres y soluciones singulares. Busqué en el conocido tratado ODE de Boole (en la segunda mitad de 1800) y no vi nada.
@DaveLRenfro ¡Gracias! Parece que el uso era poco común al menos hasta 1900. En la sección 5 de su referencia titulada "Significado geométrico...", se afirma que "A través de cada punto del plano, pasará una curva particular, para cada punto de la cual x, y, dy/dx satisfarán la ecuación". Esto se acerca a una descripción explícita de un campo de pendiente/dirección, pero el término no se usa. Acabo de comprobar Boole; No vi ninguna discusión de este tipo. ¡Parece que lo estamos reduciendo! Estoy empezando a sospechar que las imágenes de los campos de pendientes, y tal vez el término en sí mismo, es bastante reciente.
Creo que deberíamos distinguir la idea de campos en pendiente de las imágenes modernas de ellos. Podría decirse que la idea aparece al menos en los artículos seminales de Poincaré de 1880 sobre la teoría cualitativa de ODE (no tuve tiempo de buscar imágenes). No esperaría que apareciera mucho antes. El "campo vectorial" solo facilita las cosas si es una entidad conocida con un comportamiento entendido, y eso no sucedió hasta que Gibbs y Heaviside construyeron un hogar para él en 1880-s. Esta es probablemente la razón por la cual D'Alambert, Euler, Poisson et al., no los tienen ni siquiera en mecánica de fluidos, lo que parece (a nosotros) pedirlos a gritos.
@Conifold Es posible dibujar pequeños segmentos con pendientes dadas por y' = f(x, y) sin tener una noción completamente desarrollada de un campo vectorial (o incluso de un vector). Por ejemplo, Mehmke (ver enlace en cuestión) habla de indicar la dirección con "guiones cortos". No estoy seguro acerca de Poincaré; Creo que te refieres a este trabajo .
Bien, gracias. Por eso me impresionó tanto la ausencia de segmentos o flechas antes de 1900, cuando nos parecían tan naturales. Además de la mecánica de fluidos, existe una larga tradición, que se remonta a Huygens, de dibujar características para (diríamos) PDE de primer orden, que es, por supuesto, equivalente a campos de pendientes ODE. Hamilton y Jacobi lo perfeccionaron, y Hamilton inventó el "vector", pero no estoy al tanto de la conexión ODE/campo vectorial/línea de flujo, ni en el texto ni en la imagen, tampoco.

Respuestas (1)

Johann Bernoulli explica la idea de un campo direccional bastante explícitamente (Modus generalis construendi omnes aequationes diferenciales primi gradus, Acta Eruditorum, noviembre de 1694). Se enfoca en dibujar isoclinas en lugar de segmentos de pendiente. No hay ninguna figura en ese trabajo, pero Bernoulli dibujó un ejemplo en su correspondencia:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Correspondiente a:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dominique Tournès, Résolution graphique des équations différentielles , analiza este y muchos otros ejemplos históricos.

Esta es ciertamente una representación gráfica de una ODE y una respuesta útil, pero personalmente evitaría llamar a las "directrices" de Bernoullis un campo de pendiente. Pero no he leído el artículo de Bernoulli que cita, por lo que tal vez sí explique el campo de pendientes con palabras allí.
@MichaelBächtold Sí. Muy relevante: el artículo indica que lo que ahora llamamos isoclinas fue introducido por Johann Bernoulli en 1694 y fue aplicado por Van der Pol en su famosa ecuación. Sin embargo, no parece tratar los campos de pendiente directamente. Todavía me pregunto cuándo se originaron o se popularizaron los campos de pendientes con segmentos . Si alguien puede acceder a la referencia de 1944 en mi publicación original para poner un límite superior en la introducción de campos de pendiente, eso ayudaría (ese artículo se refiere a un "campo de dirección", pero aún no he podido acceder a una copia completa para ver las figuras).
Las curvas de la figura de Bernoulli se construyen dibujando segmentos de línea de un círculo de isoclina al siguiente, y las pendientes de los segmentos están determinadas por el valor de pendiente asociado con la isoclina en cuestión. Así que funcionan de forma muy parecida a un campo de pendientes y esta es la razón de Bernoulli para introducirlos. En mi opinión, la diferencia con un campo de pistas moderno es cosmética.
Desde una perspectiva moderna, una vez que uno ha entendido las cosas, muchas diferencias parecen cosméticas. Creo que hay un paso genuino no trivial involucrado en pasar de las directrices a los campos de pendientes. Para hacer una analogía: la diferencia entre visualizar una función de dos variables por una superficie en 3d o representarla por isoclinas en 2d puede parecer cosmética, pero dudo que fuera tan obvia la primera vez que la gente hizo estas visualizaciones.
Lo que llama la atención al examinar el artículo de Tournes, así como otros ejemplos tempranos de "campos vectoriales" (en Euler, D'Alambert, Poisson , etc.) es la ausencia de dichos campos. Lo que llamaríamos líneas de flujo son prominentes en los dibujos, así como los componentes en el texto, pero no están agrupados en totalidades, ni hay flechas en los dibujos para vincular esas totalidades. Lo más antiguo de este tipo en Tournes parece estar en Schreiber desde... 1922. Quería comprobar los documentos de 1880 de Poincaré, pero no lo conseguí. ¿Hay ejemplos anteriores?
@Conifold De acuerdo. Bernoulli entendió claramente el significado geométrico de y' = f(x, y), pero diría que agregar segmentos de pendiente es más que cosmético: la inspección visual de las isoclinas por sí sola (etiquetadas o no) no indica el comportamiento general de la solución, sino la inspección visual con segmentos sí. Agregar segmentos no es como cambiar un color; es una mejora incremental de usabilidad. Van der Pol agrega segmentos a las isoclinas en su artículo de 1926 (p. 19 en Tournès), posiblemente por esta razón. Eso es un campo de pendiente. Sin embargo, acabo de encontrar una instancia anterior. Ver publicación actualizada para eso, con pregunta actualizada.
Para aclarar, van der Pol usó isoclinas para analizar un sistema de primer orden, en lugar de una EDO única de primer orden de la forma dy/dx = f(x, y). Sin embargo, la idea es básicamente la misma. Lo usé para reproducir las isoclinas de una de sus gráficas en un gráfico de Desmos aquí .
Primeras instancias de un campo de pendiente/dirección para una EDO de primer orden
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