Soportes de Poisson y campo magnético [cerrado]

Question

Soportes de Poisson y campo magnético [cerrado]

Física
hamiltoniano
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

jl2

Soy un estudiante de matemáticas que intenta aprender algo de física, así que lo siento si me estoy perdiendo algo simple aquí. Creo que el principal problema es la falta de experiencia con el símbolo de Levi-Cevita.

Tenemos una partícula en un campo magnético. $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ , descrito por el hamiltoniano (tomando $c=1$ ):

H = \frac{1}{2 metro} (pag - mi A (r))^{2} = \frac{metro}{2} {\dot{r}}^{2}

$\begin{equation*} H=\frac{1}{2m}(p-eA(\mathbf{r}))^2=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}^2 \end{equation*}$

Me dicen que la estructura de corchetes de Poisson dice $\{m\dot{r}_a,m\dot{r}_b\}=e\epsilon_{abc}B_c$ , y he tratado de probar esto de la siguiente manera:

{metro {\dot{r}}_{a}, metro {\dot{r}}_{b}} = {{pag}_{a} - mi A_{a} (r), {pag}_{b} - mi A_{b} (r)} = {{pag}_{a}, {pag}_{b}} - mi {{pag}_{a}, A_{b} (r)} + mi {{pag}_{b}, A_{a} (r)} + {mi}^{2} {A_{a} (r), A_{b} (r)}

$\begin{equation*} \left\lbrace m \, \dot{r}_a, m \, \dot{r}_b \right\rbrace = \left\lbrace p_a - e \, A_a(\mathbf{r}), p_b - e \, A_b(\mathbf{r}) \right\rbrace \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \left\lbrace p_a, p_b \right\rbrace - e \, \left\lbrace p_a, A_b(\mathbf{r})\right\rbrace + e \, \left\lbrace p_b, A_a(\mathbf{r}) \right\rbrace + e^2 \, \left\lbrace A_a(\mathbf{r}), A_b(\mathbf{r}) \right\rbrace \end{equation*}$

Ahora, el primer y el último término aquí son cero, por lo que esto se simplifica a:

{metro {\dot{r}}_{a}, metro {\dot{r}}_{b}} = mi \frac{\partial A_{b} (r)}{\partial r_{a}} - mi \frac{\partial A_{a} (r)}{\partial r_{b}}

$\begin{equation*} \left\lbrace m \, \dot{r}_a, m \, \dot{r}_b \right\rbrace = e\frac{\partial{A_b(\mathbf{r})}}{\partial{r_a}} - e\frac{\partial{A_a(\mathbf{r})}}{\partial{r_b}} \end{equation*}$

usando el hecho de que $\left\lbrace p_a, f(\mathbf{r}) \right\rbrace = -\frac{\partial f(\mathbf{r})}{\partial r_a}$ . No estoy muy seguro de adónde ir desde aquí, supongo que se necesita algún tipo de manipulación con el símbolo de Levi-Civita. Gracias de antemano.

Ángulo de Eric

¿Alguien puede explicar por qué esto está fuera de tema? @ jl2 "pregunta [ed] sobre un concepto de física específico" y "muestra [ed] algún esfuerzo para resolver el problema", ¿no? Creo que llegó al 90% del camino y solo necesitaba algunos consejos sobre el símbolo de Levi-Cevita, como dijo. Supongo que podría haberme detenido unos pasos en mi respuesta, ¿dejándolo terminarla? Aún así, eso sería con respecto a mi respuesta, no a su pregunta.

jl2

Lo siento realmente confundido por esto. No veo cómo la pregunta no es específica, o cómo no he mostrado ningún esfuerzo para llegar a una solución. ¿Hay alguna manera de que pueda recuperar la respuesta? Nada en el Centro de ayuda parece indicar que hay algún problema con esto.

Respuestas (1)

Soportes de Poisson y campo magnético [cerrado]

¿Alguien puede explicar por qué esto está fuera de tema? @ jl2 "pregunta [ed] sobre un concepto de física específico" y "muestra [ed] algún esfuerzo para resolver el problema", ¿no? Creo que llegó al 90% del camino y solo necesitaba algunos consejos sobre el símbolo de Levi-Cevita, como dijo. Supongo que podría haberme detenido unos pasos en mi respuesta, ¿dejándolo terminarla? Aún así, eso sería con respecto a mi respuesta, no a su pregunta.
Lo siento realmente confundido por esto. No veo cómo la pregunta no es específica, o cómo no he mostrado ningún esfuerzo para llegar a una solución. ¿Hay alguna manera de que pueda recuperar la respuesta? Nada en el Centro de ayuda parece indicar que hay algún problema con esto.

Ángulo de Eric · Answer 1

Voy a utilizar la notación de suma de Einstein en todo momento.

Ya casi estás ahí. Solo necesitas usar

B = \nabla \times A

${\bf B} = \nabla \times {\bf A}$ o equivalente,

\begin{array}{rcl} B_{k} & = & \frac{\partial}{\partial r_{i}} A_{j} ϵ_{i j k} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{i}} A_{j} ϵ_{i j k} + \frac{\partial}{\partial r_{j}} A_{i} ϵ_{j i k}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{i}} A_{j} - \frac{\partial}{\partial r_{j}} A_{i}) ϵ_{i j k} \end{array}

$\begin{eqnarray} B_k &=& \frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} + \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \epsilon_{j i k}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{i j k}\\ \end{eqnarray}$ Allí usé la antisimetría de

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{i j k}$ bajo el intercambio de cualquiera de los dos índices.

Ahora usando la primera ecuación aquí ,

\begin{array}{rcl} B_{k} ϵ_{k r s} & = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{i}} A_{j} - \frac{\partial}{\partial r_{j}} A_{i}) ϵ_{k i j} ϵ_{k r s} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{i}} A_{j} - \frac{\partial}{\partial r_{j}} A_{i}) (d_{i r} d_{j s} - d_{i s} d_{j r}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{r}} A_{s} - \frac{\partial}{\partial r_{s}} A_{r}) - \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial r_{s}} A_{r} - \frac{\partial}{\partial r_{r}} A_{s}) \\ = & \frac{\partial}{\partial r_{r}} A_{s} - \frac{\partial}{\partial r_{s}} A_{r} \end{array}

$\begin{eqnarray} B_k \epsilon_{k r s} &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{k i j} \epsilon_{k r s} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \left(\delta_{i r} \delta_{j s} - \delta_{i s} \delta_{j r}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_s} A_r - \frac{\partial}{\partial r_r} A_s \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \end{eqnarray}$

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jl2

Ángulo de Eric

jl2

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Ángulo de Eric

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