¿Cómo saber si una función de onda es una solución físicamente aceptable de una ecuación de Schrödinger?

Lo mínimo que debe satisfacer una función de onda para ser físicamente aceptable es que sea integrable al cuadrado; es decir, que es$L_2$norma ,

$$\int |\psi(x)|^2\mathrm d x,$$ ser finito Esto descarta funciones como $\sin(x)$, que tiene una amplitud distinta de cero hasta el infinito, y funciona como $1/x$y $\tan(x)$, que tienen singularidades no integrables.

En el caso más riguroso, sin embargo, es necesario imponer condiciones adicionales. Los estados físicamente preparables de una partícula denotan funciones que son continuamente diferenciables en cualquier orden y que tienen un valor esperado finito de cualquier potencia de posición y momento. Por lo tanto:

• $\psi$debe ser continuo en todas partes.
• Todo$\psi$Las derivadas de deben existir y deben ser continuas en todas partes.
• El valor esperado$\int\psi^*(x) \:\hat x^n \hat p^m \psi(x)\:\mathrm dx$debe ser finito para todos$n$y$m$.

Esto descarta funciones discontinuas como$\theta(x)$, funciones con derivadas discontinuas y funciones como$(1+x^2)^{-1/2}$, que decaen muy lentamente en el infinito. Los estados que satisfacen estas condiciones se denominan 'físicos' porque son los estados que se pueden preparar con energía finita en un tiempo finito. La manera de implementar estos estados rigurosamente es usando una construcción conocida como Rigged Hilbert Space (ver también el libro de texto QM de Galindo & Pascual).

En la práctica diaria, la mayoría de la gente adopta un enfoque mixto. Los requisitos de que una función sea continua nunca se eliminan, y se requiere que sea diferenciable al menos en casi todas partes. Sin embargo, si el hamiltoniano no es una buena función de posición, como con$\delta$-Potenciales de función o pozo cuadrado, los requisitos a veces se reducen a solo esos; esto es en el entendimiento de que un potencial verdaderamente discontinuo no es físico, y que cualquier problema traído a los derivados superiores de$\psi$se puede arreglar usando un hamiltoniano más suave.

Si está hablando de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, no es una pregunta trivial como puede parecer, como sugieren los comentarios. Restringiré la respuesta al caso unidimensional, ya que la multiplicación de dominios conectados en dimensiones superiores presenta algunos problemas adicionales. No todas las funciones$\psi$que son soluciones de la ecuacion

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$$ son válidos. La primera condición es que$\psi\in L^2(\Omega)$, dónde $\Omega\subset \Bbb{R}$es el dominio de la función, ya que debe ser un elemento del espacio de Hilbert, de lo contrario no sería un estado cuántico.

Se requieren condiciones más sutiles cuando miras el dominio del hamiltoniano.

$$H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}.$$ En general, esto dependerá de las condiciones que satisfaga el potencial $V(x)$. Por lo general, uno termina con subconjuntos del espacio de Sobolev $\mathcal{H}^2(\Omega)$, que restringe el espacio original a funciones tales que su derivada ( débil -) de segundo orden está en $L^2(\Omega)$. Si $\Omega$es un intervalo (que es la configuración habitual) esto también se puede poner de manera equivalente a las funciones que son, junto con su derivada, absolutamente continuas y cuya segunda derivada también está en $L^2(\Omega)$. Además, cuando el dominio $\Omega$es un subconjunto propio de $\Bbb{R}$, las condiciones de contorno, que se establecen a través de argumentos físicos, juegan un papel decisivo en la elección del dominio correcto $\mathcal{D}(H)$de autoadjunción, por lo que también deben ser considerados. Por ejemplo, la condición de que $\psi(0)=\psi(a)=0$para el pozo cuadrado infinito, descarta algunas soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfarían las otras condiciones.

Si miramos de otro modo a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$$H\psi(t)=i\hbar\partial_t\psi(t), \qquad \psi(0)=\psi_0$$ cualquier función $\psi_0\in L^2(\Omega)$puede ser una condición inicial para el sistema. Pero para $\psi_0 \notin\mathcal{D}(H)$la trayectoria dada por $\psi(t)=e^{-iHt/\hbar}\psi_0$es solo una solución débil, en el sentido de que no es un camino diferenciable y que la energía promedio no está definida (puede considerarse infinita) para todos $t$, por lo que estas soluciones pueden considerarse no físicas.