¿Cómo resuelvo estas integrales de función de onda y operador?

Quieres

$$\langle\hat A\rangle:=\int \Psi^*(r,t)\hat A \Psi(r,t)\, d^3r,$$

y desde$\Psi(r,t)=e^{i(kr-wt)}$tienes

$(\Psi(r,t))^*\hat p\Psi(r,t)=\\ =(e^{i(kr-wt)})^*(-i\hbar \nabla)e^{i(kr-wt)}\\ =e^{-i(kr-wt)}(-i\hbar (ik))e^{i(kr-wt)}\\ =\hbar k,$

y entonces

$\langle\hat p\rangle=\\ =\int \Psi^*(r,t)\hat p \Psi(r,t)\, d^3r\\ =\int \Psi^*(r,t)(\hbar k) \Psi(r,t)\, d^3r\\ =\hbar k \int \Psi^*(r,t)1\Psi(r,t)\, d^3r\\ =\hbar k \langle\hat 1\rangle,$

y de manera similar

$\langle\hat p^2\rangle=(\hbar k)^2 \langle\hat 1\rangle,$

lo que también implica

$\langle\hat p\rangle^2=\langle\hat p^2\rangle\langle\hat 1\rangle.$

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La doctrina habitual es que la función de onda es un estado propio normado, es decir

$$\int \Psi^*(r,t)\Psi(r,t)\, d^3r=1,$$ lo que significa $\langle\hat 1\rangle$es igual al número 1. El problema es que la norma de la onda plana $\Psi(r,t)=e^{i(kr-wt)}$, para el cual el integrando es $\Psi^*(r,t)\Psi(r,t)=e^0=1$, diverge para una integral $\int d^3r$sobre un volumen infinito.

Estaría tentado a decir que deberías definir

$$\langle\hat A\rangle:=\frac{\int \Psi^*(r,t)\hat A \Psi(r,t)\, d^3r}{\int \Psi^*(r,t)\Psi(r,t)\, d^3r},$$

como entonces en este caso$\langle\hat p\rangle:=\tfrac{\hbar k\langle\hat 1\rangle}{\langle\hat 1\rangle}$y así el objeto$\langle\hat 1\rangle$factoriza formalmente en el cálculo en este caso. Pero en general, el problema es más complicado que eso. Tal vez encuentre este hilo esclarecedor, y ciertamente hay otros en physics.SE con respecto a estos temas.