Operador de traducción y operador de posición

Estoy un poco confundido acerca de la traducción y el operador de posición y espero alguna aclaración.

Dejar X ^ sea ​​el operador de posición, que satisface X ^ | X ⟩ = X | X ⟩ y T ^ a el operador de traducción, que satisface T ^ a | X ⟩ = | X + a ⟩ . Dicho esto, se sabe que [ X ^ , T ^ a ] ≠ 0 , desde T ^ a X ^ | X ⟩ = X | X + a ⟩ , mientras X ^ T ^ a | X ⟩ = ( X + a ) | X + a ⟩ .

Dicho esto, estoy confundido acerca de los mismos operadores en la representación de posición. Dejar ψ ( X ) Sea cualquier función de onda, que resuelva la ecuación de Schrödinger.

Para reproducir los mismos resultados en la representación de posición

T ^ a X ^ ψ ( X ) = T ^ a X ψ ( X ) = X T ^ a ψ ( X ) = X ψ ( X + a )

y

X ^ T ^ a ψ ( X ) = X ^ ψ ( X + a ) = ( X + a ) ψ ( X + a )

debe ser cierto

Sin embargo, anteriormente pensé que el operador de posición siempre es "solo x" en la representación de posición. En este caso, obtendríamos

T ^ a X ^ ψ ( X ) = T ^ a X ψ ( X ) = ( X + a ) ψ ( X + a )

y

X ^ T ^ a ψ ( X ) = X ψ ( X + a ) = X ψ ( X + a )

lo cual no se ajusta a las afirmaciones generalizadas mencionadas al principio.

Para concluir todo: ¿cuál resultado, si lo hay, es el correcto y cómo se define exactamente el operador de posición para la representación de posición?

Respuestas (2)

Primero, una aclaración rápida. Si define la acción de T a en el ket de posición | X ⟩ como T a | X ⟩ = | X + a ⟩ , entonces uno tendría que

T a | ψ ⟩ = ∫ d X   ψ ( X ) T a | X ⟩ = ∫ d X   ψ ( X ) | X + a ⟩ = ∫ d X   ψ ( X − a ) | X ⟩
Similarmente,
T a X | ψ ⟩ = ∫ d X   ψ ( X ) T a X | X ⟩ = ∫ d X   ψ ( X ) X T a | X ⟩ = ∫ d X   ψ ( X ) X | X + a ⟩
= ∫ d X   ( X − a ) ψ ( X − a ) | X ⟩
mientras
X T a ψ ⟩ = ∫ d X   ψ ( X − a ) X | X ⟩ = ∫ d X   X ψ ( X − a ) | X ⟩

Evitar la notación bra-ket y definir la acción de estos operadores directamente al nivel de la función de onda produciría

[ ( T a X ) ψ ] ( X ) = ( X − a ) ψ ( X − a ) [ ( X T a ) ψ ] ( X ) = X ψ ( X − a )

La primera igualdad podría entenderse haciendo X ψ ≡ ϕ , entonces ϕ ( X ) = X ψ ( X ) . A partir de ahí, la aplicación de T a rendiría ( T a ϕ ) ( X ) = ϕ ( X − a ) = ( X − a ) ψ ( X − a ) .

En conjunto, creo que lo importante es recordar que ψ es una función mientras ψ ( X ) es un número, y los operadores actúan sobre funciones (en la representación de posición). Caso en punto,

T ^ a X ^ ψ ( X ) = T ^ a X ψ ( X ) = X T ^ a ψ ( X ) = X ψ ( X + a )

Es incorrecto. Debe entenderse como actuar sobre ψ con X ^ , luego actuando sobre el resultado con T a , y solo entonces evaluando el resultado en X . En otras palabras, como ( T ^ a X ^ ψ ) ( X ) . Esto hace que sea mucho más fácil entender que T a cambia el argumento de X ^ ψ :

( T ^ a X ^ ψ ) ( X ) = ( X ^ ψ ) ( X − a ) = ( X − a ) ψ ( X − a )
porque ( X ^ ψ ) ( tu ) = tu ψ ( tu ) .

En la representación de posición, necesitamos (o podemos) evaluar la acción de T a en el sujetador ⟨ X | . Para ello, tenga en cuenta que

⟨ X | T a = ∫ d y ⟨ X | T a | y ⟩ ⟨ y | = ∫ d y ⟨ X | y + a ⟩ ⟨ y | = ⟨ X − a | ,
donde hemos usado la relación de completitud ∫ d X | X ⟩ ⟨ X | = I y ⟨ X | y ⟩ = d ( X − y ) .

Ahora definamos

ψ ( X ) ≡ ⟨ X | ψ ⟩

y

( O ψ ) ( X ) ≡ ⟨ X | O | ψ ⟩
para algún operador O y estado | ψ ⟩ . Entonces
( T a X ψ ) ( X ) = ⟨ X | T a X | ψ ⟩ = ⟨ X − a | X | ψ ⟩ = ( X − a ) ⟨ X − a | ψ ⟩ = ( X − a ) ψ ( X − a ) ,
mientras
( X T a ψ ) ( X ) = ⟨ X | X T a | ψ ⟩ = X ⟨ X | T a | ψ ⟩ = X ⟨ X − a | ψ ⟩ = X ψ ( X − a ) .

Finalmente, esto demuestra que

⟨ X | [ T a , X ] | ψ ⟩ = ( X − a ) ψ ( X − a ) − X ψ ( X − a ) = − a ψ ( X − a ) = − a ⟨ X − a | ψ ⟩ = − a ⟨ X | T a | ψ ⟩ .
Dado que esto debería valer para todos | ψ ⟩ (en un dominio específico) y ⟨ X | , Concluimos
[ T a , X ] = − a T a .

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