Funciones de onda cuando xxx tiende al infinito

Este problema surgió cuando estaba realizando algunos ejercicios de QM:

Me han pedido que encuentre el conmutador.$[A,B]$dónde$A,B$se definen como

$$A\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\psi(x),$$

$$B\psi(x)=\int^x_{\infty}\psi(x') dx'.$$

Entonces tenemos$(AB-BA)\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\int^x_{\infty}\psi(x') dx' - \int^x_{\infty}x'\frac{\partial }{\partial x'}\psi(x')dx'$

Podemos usar la integración por partes en el segundo término para obtener

$[A,B]\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\int^x_{\infty}\psi(x') dx' - x'\psi(x')|^x_{\infty} + \int^x_{\infty}\psi(x') dx'$

Ahora que he echado un vistazo a las soluciones, sé que esto se simplifica a

$x\psi(x) -x\psi(x) + \int^x_{\infty}\psi(x') dx'=B\psi(x)$

No entiendo cómo se simplificaron los términos primero y segundo. Supongo que el requisito de normalización que$\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x) |^2dx=1$implica que$\psi(x)\rightarrow 0$como$x \rightarrow \infty$, aunque no estoy seguro de cómo. Esto daría que el término medio$x'\psi(x')|^x_{\infty}=x\psi(x)-\infty\psi(\infty)$. Pero escribir esto no es realmente correcto iirc, y no muestra por qué la expresión se simplifica a$x\psi(x)$. tendría que mostrar eso$x'\psi(x')\rightarrow 0$como$x'\rightarrow \infty$. Pero, ¿cómo sé que esto es cierto para cualquier$\psi$?

Tengo un problema similar para el primer término, si$\psi(x)$se integra a alguna función$\phi(x)$, entonces tendría que demostrar que$\phi(x)\rightarrow 0$como$x \rightarrow \infty$.