Cinco puntos se encuentran todos en la cónica.

Dejar$F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$

podemos resolver este sistema de ecuación lineal:

$F(0,2)=F(-3,0)=F(1,5)=F(1,1)=F(-1,1)=0$y obten

$$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (-7/6)f \\ (19/6)f \\ (-2/3)f \\ (-19/6)f \\ (5/6)f \\ f \\ \end{bmatrix}$$ dónde $f$no puede ser $0$

Reemplazando cada punto en la ecuación dada da

$$\begin{align*} 4 \, c + 2 \, e + f &= 0 \\ 9 \, a - 3 \, d + f &= 0 \\ a + 5 \, b + 25 \, c + d + 5 \, e + f &= 0 \\ a + b + c + d + e + f &= 0 \\ a - b + c - d + e + f &= 0 \end{align*}$$ Este sistema se puede escribir en forma matricial como $A\vec x=\vec 0$dónde $$\begin{align*} A &= \left[\begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 9 & 0 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & 25 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] & \vec x &= \left[\begin{array}{r} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \end{array}\right] \end{align*}$$ Ahora, fila reducir $A$para obtener $$\DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref(A)= \left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{6} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{19}{6} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{19}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{6} \end{array}\right]$$ Esto implica que nuestro sistema original es equivalente a $$\begin{align*} a + \frac{7}{6} \, f &= 0 & b - \frac{19}{6} \, f&= 0 & c + \frac{2}{3} \, f&= 0 & d + \frac{19}{6} \, f&= 0 & e - \frac{5}{6} \, f&= 0 \end{align*}$$

Resolver el sistema lineal, como otros han demostrado, es quizás la mejor manera de hacerlo si lo está haciendo a mano y/o por primera vez (y si quiere convencerse de la unicidad hasta el factor común). ), pero solo mencionaré esto...

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Una ecuación de una cónica a través de cinco puntos ---digamos,$A$,$B$,$C$,$D$,$E$--- está dada por esta relación determinante (donde$P_x$y$P_y$son, respectivamente, los$x$- y$y$-coordenadas de$P$):

$$\left|\begin{matrix} x^2 & y^2 & x y & x & y & 1 \\ A_x^2 & A_y^2 & A_x A_y & A_x & A_y & 1 \\ B_x^2 & B_y^2 & B_x B_y & B_x & B_y & 1 \\ C_x^2 & C_y^2 & C_x C_y & C_x & C_y & 1 \\ D_x^2 & D_y^2 & D_x D_y & D_x & D_y & 1 \\ E_x^2 & E_y^2 & E_x E_y & E_x & E_y & 1 \\ \end{matrix}\right| = 0 \tag{$\star$}$$

Entonces, en teoría, uno "simplemente" expande el determinante y lee los diversos coeficientes. Por supuesto, nadie quiere expandir un$6\times 6$determinante a mano, pero$(\star)$viene ( ejem ) útil si tiene un sistema de álgebra computarizado disponible para hacer el crujido de símbolos.