Relación de recurrencia an+2=3an+1−2anan+2=3an+1−2ana_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n

Question

Relación de recurrencia an+2=3an+1−2anan+2=3an+1−2ana_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n

Matemáticas
álgebra-precálculo
Matemáticas discretas
relaciones de recurrencia

hjg hjg

Para la relación de recurrencia, $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ con $a_0=2$ y $a_1=3$ , calcule los primeros seis términos de la sucesión y obtenga una fórmula de forma cerrada para esta sucesión.
Así que estoy totalmente perdido con esta pregunta porque cada relación de recurrencia que probé fue la suma de dos términos anteriores. Cualquier explicación clara sería muy apreciada para poder hacer este tipo de preguntas en el futuro.

Brian M Scott

Aquí hay una solución bastante detallada de una recurrencia muy similar; muestra un método elemental estándar para encontrar una forma cerrada para una recurrencia de este tipo.

hjg hjg

@ BrianM.Scott Miré el enlace que proporcionó y observé su respuesta detallada. Pero todavía tengo dificultades para conectar los dos ya que mi pregunta comienza con

a_{n + 2} =

$a_{n+2} =$ . Lo que realmente me está desconcertando es el hecho de que mi pregunta comienza con

a_{n + 2}

$a_{n+2}$ .

Brian M Scott

la recurrencia

a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}

$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ para

n \geq 0

$n\ge 0$ es idéntica a la recurrencia

a_{n} = 3 a_{n - 1} - 2 a_{n - 2}

$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ para

n \geq 2

$n\ge 2$ y a la recurrencia

a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2 a_{n - 1}

$a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$ para

n \geq 1

$n\ge 1$ : los tres dicen exactamente lo mismo, que cada término de

a_{2}

$a_2$ en'' eso

3

$3$ veces el término anterior menos

2

$2$ veces el anterior.

hjg hjg

¡Oh! Finalmente creo que lo conseguí. Si cada vez que una de estas relaciones de recurrencia comienza con un término

a_{n + k}

$a_{n+k}$ o

a_{n - k}

$a_{n-k}$ , restamos o sumamos las k de ambos lados, ¿correcto?

Brian M Scott

Siempre puede cambiar los índices, siempre que los cambie todos en la misma cantidad. Por ejemplo,

a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3 a_{n - 3}

$a_n=2a_{n-1}+3a_{n-3}$ es lo mismo que

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n - 2}

$a_{n+1}=2a_n+3a_{n-2}$ (todo desplazado hacia arriba por

1

$1$ ),

a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 3 a_{n - 1}

$a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n-1}$ (todo desplazado hacia arriba por

2

$2$ ),

a_{n + 3} = 2 a_{n + 2} + a_{n}

$a_{n+3}=2a_{n+2}+a_n$ (todo desplazado hacia arriba por

3

$3$ ), o incluso

a_{n + 5} = 2 a_{n + 4} + 3 a_{n + 2}

$a_{n+5}=2a_{n+4}+3a_{n+2}$ (todo desplazado hacia arriba por

5

$5$ ). También puede cambiar hacia abajo:

a_{n - 1} = 2 a_{n - 2} + 3 a_{n - 4}

$a_{n-1}=2a_{n-2}+3a_{n-4}$ .

hjg hjg

Entonces para

a_{n + 5} = 2 a_{n + 4} + 3 a_{n + 2}

$a_{n+5}=2a_{n+4}+3a_{n+2}$ sería lo mismo que

a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3 a_{n - 3}

$a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-3}$ , ¿correcto? Si es así, gracias por tu ayuda.

Brian M Scott

Sí, eso es correcto: sustituyendo

n = 10

$n=10$ , digamos, en la primera versión te dice que

a_{15} = 2 a_{14} + 3 a_{12}

$a_{15}=2a_{14}+3a_{12}$ , que es exactamente lo que aprendes sustituyendo

n = 15

$n=15$ en la segunda versión. De nada.

Respuestas (3)

Relación de recurrencia an+2=3an+1−2anan+2=3an+1−2ana_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n

Aquí hay una solución bastante detallada de una recurrencia muy similar; muestra un método elemental estándar para encontrar una forma cerrada para una recurrencia de este tipo.
@ BrianM.Scott Miré el enlace que proporcionó y observé su respuesta detallada. Pero todavía tengo dificultades para conectar los dos ya que mi pregunta comienza con $a_{n+2} =$ . Lo que realmente me está desconcertando es el hecho de que mi pregunta comienza con $a_{n+2}$ .
la recurrencia $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ para $n\ge 0$ es idéntica a la recurrencia $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ para $n\ge 2$ y a la recurrencia $a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}$ para $n\ge 1$ : los tres dicen exactamente lo mismo, que cada término de $a_2$ en'' eso $3$ veces el término anterior menos $2$ veces el anterior.
¡Oh! Finalmente creo que lo conseguí. Si cada vez que una de estas relaciones de recurrencia comienza con un término $a_{n+k}$ o $a_{n-k}$ , restamos o sumamos las k de ambos lados, ¿correcto?
Siempre puede cambiar los índices, siempre que los cambie todos en la misma cantidad. Por ejemplo, $a_n=2a_{n-1}+3a_{n-3}$ es lo mismo que $a_{n+1}=2a_n+3a_{n-2}$ (todo desplazado hacia arriba por $1$ ), $a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n-1}$ (todo desplazado hacia arriba por $2$ ), $a_{n+3}=2a_{n+2}+a_n$ (todo desplazado hacia arriba por $3$ ), o incluso $a_{n+5}=2a_{n+4}+3a_{n+2}$ (todo desplazado hacia arriba por $5$ ). También puede cambiar hacia abajo: $a_{n-1}=2a_{n-2}+3a_{n-4}$ .
Entonces para $a_{n+5}=2a_{n+4}+3a_{n+2}$ sería lo mismo que $a_{n}=2a_{n-1}+3a_{n-3}$ , ¿correcto? Si es así, gracias por tu ayuda.
Sí, eso es correcto: sustituyendo $n=10$ , digamos, en la primera versión te dice que $a_{15}=2a_{14}+3a_{12}$ , que es exactamente lo que aprendes sustituyendo $n=15$ en la segunda versión. De nada.

ross milikan · Answer 1

El cálculo de los primeros seis términos está bien definido. te dan $a_0=2, a_1=3$ y $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$ . si lo sustituyes $n=2$ usted obtiene $a_{2}=3a_{1}-2a_0=3\cdot 3 -2 \cdot 2=5$ y puedes seguir. Una hoja de cálculo con copia hacia abajo facilitará la obtención de los siguientes términos.

La solución general es como su pregunta anterior . En este caso, si la solución es $a_n=cr^n$ , te encuentras $cr^2=3cr-2c$ o $r^2-3r+2=0$ con soluciones $r=1$ y $r=2$ . Entonces nosotros tenemos $a_n=c_1n+c_2n^2$ y las condiciones iniciales te permiten encontrar $c_1,c_2$

Felipe · Answer 2

Con los dos primeros términos se te dan ( $a_0=2$ y $a_1=3$ ), los únicos coeficientes que quedan por encontrar son $a_i$ para $i=2,3,4,5,6$ .

Empezar con $a_2$ ,

$a_2 = 3a_1 - 2a_0 = 3\cdot3-2\cdot2= 9 -4=5$

entonces $a_3 = 3a_2 - 2a_1 = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 15-6 = 9$

Etcétera. Los términos que resuelvas previamente se transfieren a la siguiente iteración y, por lo tanto, la solución de abajo hacia arriba funcionará. Reexaminemos $a_3$ en términos de $a_0$ y $a_1$ :

$a_3 = 3a_2 - 2a_1 = 3(3a_1 - 2a_0)-2a_1 = 7a_1-6a_0= 21-12 =9$

que es lo mismo que el método simple de llevar las respuestas de una iteración a otra.

EDITAR: De ( http://people.uncw.edu/tompkinsj/133/recursion/homogeneous.htm ),

Desde el sitio web anterior, la relación de recurrencia $a_{n+2} = 3a_{n+1} -2a_{n}$ se puede resolver con el teorema de raíces distintas.

Considerar $a_{n+k} = t^k$ , entonces la relación se convierte en $t^2-3t+2=(t-2)(t-1)=0$ . Las raíces, indicadas por $r$ y $s$ , son $2$ y $1$ , respectivamente. Por el teorema de raíces distintas, la secuencia satisface la siguiente ecuación $a_{n} = C\cdot r^n+D \cdot s^n=C \cdot2^n +D$ .

Con los términos iniciales ( $a_0=2$ y $a_1=3$ ), $C$ y $D$ se puede resolver con las siguientes ecuaciones:

$a_0 = C\cdot 2^0+D = C+D=2$

$a_1 = C\cdot 2^1+D = 2C+D=3$

$(a_1-a_0) = C =1$

$\implies D = 1$

$\therefore a_n = 2^n + 1^n = 2^n + 1$

Verificar con $a_3$ : $a_3 = 2^3 +1 = 9$ que es lo mismo que resolver la recurrencia manualmente.

Miré el siguiente enlace pero todavía no ayuda, al menos para mí, cómo resolver la pregunta que hice.
Perdón por el enlace que publiqué antes. Definitivamente no era lo que estaba preguntando. He revisado mi respuesta con un nuevo enlace que puede ayudarlo a encontrar soluciones de forma cerrada para las relaciones de recurrencia.
Estoy un poco confundido acerca de cómo obtuviste C y D. Para determinar C, lo haces $(a_1-a_0)$ cual es $(C+D)-(2C+D)$ , ¿correcto?
¡Bien! Hice eso para aislar la constante ( $(2C+D)-(C+D)=C$ ). accidentalmente puse $D$ en lugar de $C$ . Por suerte, ambos $C$ y $D$ son 1

vonbrand · Answer 3

Utilice los métodos de "función de generación" de Wilf . Definir $A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$ , multiplica tu recurrencia por $z^n$ y suma $n \ge 0$ Llegar:

\frac{A (z) - a_{0} - a_{1} z}{z^{2}} = 3 \frac{A (z) - a_{0}}{z} - 2 A (z)

$\frac{A(z) - a_0 - a_1 z}{z^2} = 3 \frac{A(z) - a_0}{z} - 2 A(z)$ Resolver

A (z)

$A(z)$ y dividir en fracciones parciales:

A (z) = \frac{1}{1 - 2 z} + \frac{1}{1 - z}

$A(z) = \frac{1}{1 - 2 z} + \frac{1}{1 - z}$ Estas son solo dos series geométricas:

a_{norte} = 2^{norte} - 1

$a_n = 2^n - 1$

Relación de recurrencia an+2=3an+1−2anan+2=3an+1−2ana_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n

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Brian M Scott

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Brian M Scott

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Respuestas (3)

ross milikan

Felipe

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Felipe

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Felipe

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vonbrand

Prueba de inducción de una relación de recurrencia?

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