¿Cuál es mi error en este determinante de orden nnn?

Considere los números reales a i , b i ∈ R y el siguiente determinante

α norte = | a 1 + b 1 b 1 b 1 b 1 ⋯ b 1 b 2 a 2 + b 2 b 2 b 2 ⋯ b 2 b 3 b 3 a 3 + b 3 b 3 ⋯ b 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b norte b norte b norte b norte ⋯ a norte + b norte |
Mi intento fue sustituir la columna 1 con la columna 1 - columna 2 ( C 1 → C 1 − C 2 ) . Luego haz lo mismo con otras columnas: C 2 → C 2 − C 3 ,..., C norte → C norte − C 1 . Después de todas estas transformaciones, surge este determinante
α norte = | a 1 0 0 0 ⋯ − a 1 − a 2 a 2 0 0 ⋯ 0 0 − a 3 a 3 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ a norte |
Entonces parece que α norte solo depende de a i . Sin embargo, calculando el caso norte = 2 , da
α 2 = | a 1 + b 1 b 1 b 2 a 2 + b 2 | = a 1 a 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 .
¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo puedo calcular un formulario cerrado para α norte ? Gracias de antemano.

La última operación de C norte no parece correcto, como C 1 ha sido modificado antes.
¡Gracias por tu comentario!

Respuestas (2)

Como su error ya se aclaró en otras respuestas aquí, solo se dará una pista para la solución.

asumiré a i ≠ 0 . Observe que su matriz tiene la forma:

α = A + tu T v ,
dónde
A = diagnóstico ⁡ ( a 1 , a 2 , … , a norte ) , tu = ( b 1 , b 2 , … , b norte ) , v = ( 1 , 1 , … , 1 ) .
Entonces por el lema del determinante matricial :
det ( α ) = ( 1 + v A − 1 tu T ) det ( A ) = ( 1 + ∑ i b i a i ) ∏ i a i .

Esto responde a mi segunda pregunta de una manera muy agradable. ¡Gracias! +1

Tenga en cuenta que al realizar operaciones de fila o columna en determinantes, es necesario conservar al menos una columna/fila, no podemos cambiarlas todas a la vez.

En su caso, no puede hacer C norte → C norte − C 1 .

¡Gracias por su respuesta!
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