¿Cómo resolver bien los estados unidos de un cuadrado rectangular finito 2D?

Creo que este problema es similar al problema de encontrar modos de guía de onda dieléctrica rectangular. En este caso, puede usar el método del índice efectivo para encontrar la solución aproximada (para su problema, podemos llamarlo método del potencial efectivo). Para obtener más información sobre el método de índice efectivo, consulte los siguientes artículos:

• Análisis de índice efectivo de guías de ondas ópticas: Enlace

• Análisis de guías de ondas ópticas integradas: método variacional y método de índice efectivo con corrección de perturbaciones incorporada: Enlace

La base de este método es que el modo de una guía de ondas se puede separar en productos de dos funciones, una en$x$dirección que depende sólo de$x$y uno en$y$dirección que depende sólo de$y$. Estos pueden resolverse de forma independiente y combinarse para producir la estructura de modo. De esta manera, la estructura de la guía de onda 2D se puede separar en dos estructuras individuales, una de las cuales es una guía de onda plana de índice escalonado en$x$dirección y otra en$y$dirección. De hecho, esto es lo mismo que su sugerencia para introducir$V_x$y$V_y$, pero de una manera especial que la solución es muy cercana a la solución exacta

Hasta ahora, lo único de lo que puedo estar seguro es que no hay una solución de la forma$\psi(x,y)=g(y)f(x)$, lo que llevaría a una evidente contradicción:

Si tenemos una solución$\psi(x,y)==f(x)g(y)$, denota$\frac{f''}{f}=F(x),\frac{g''}{g}=G(y)$, Para cualquier x<-a fijo, F(x)+G(y)=constante requiere que G(y) sea constante, de manera similar, y<-b fijo, requiere que F(x) sea constante, pero F(x)+ G(y) no es constante en todo el plano xy, por lo tanto =><=.

Este problema 2D es solucionable, lo sabía porque resolví un problema 2D similar que involucraba un electrón atrapado en un círculo potencial 2D; también lo detectó un científico de IBM en su laboratorio anteriormente.

Habrá dos enfoques aquí, uno sería la barrera penetrable y la barrera no penetrable. Dado que el problema no mencionaba la función de transmisión, es seguro asumir que este problema no es penetrable.

Con respecto a su problema, es bastante solucionable por separación de variables , acaba de perder algunos pasos importantes, le daré una puesta en marcha para que pueda continuar con la técnica. Este problema tiene dos regiones, no intentes mezclarlas porque te quedarás atascado como estás ahora. Las dos regiones son simplemente IN-box y OUT-box.

CASO 1: Caja de ENTRADA

A$|x| \leq a$y$|y| \leq b$;$V(x,y)=0$

eso significa que tu caja tiene '$a$' longitud en$\pm x$-eje, eso es$2a$en general, lo mismo que con$y$. Y en esa región, cualquier partícula u onda experimenta un potencial cero, es decir$V(x,y)=0$como dice su problema, entonces su DE se reducirá a:

por esto se puede emplear la separación de variables. Recuerda que tu$E(x,y)=E$es la energía base (como desea resolver), entonces debería ser la misma en cualquier lugar dentro, en su estado base. Por lo tanto, es una constante y no tiene ninguna$x$o$y$componente, sin división o suma involucrada, lo trata de la misma manera que trata una constante bajo la Técnica de Separación.

CASO 2: Caja de SALIDA

Si de lo contrario una partícula u onda cae fuera$a$, eso es$|x| > a$, entonces experimentará un potencial$V_0$, por lo que su potencial$V(x,y)$se convierte$V_0$como dice la condición de su problema, lo mismo ocurre con$y$-eje. Bien$V_0$, como el nombre en sí es una constante, no depende de ninguno$x$o$y$, por lo que NO necesita separaciones para$V_0$, su DE sería entonces

nuevamente, esta también es una ecuación separable, entonces, por lo tanto, su problema es solucionable .

Entonces, en general , habrá dos conjuntos de soluciones al problema: uno para IN-Box y otro para OUT-box.

Por cierto: parece que tienes problemas con las separaciones que involucran constantes, revísalo amablemente. Deseo discutirlo, pero eso ya no es Física.

El problema, de hecho, no tiene solución de forma cerrada. Una forma elemental de ver esto es la siguiente: si hubiera una solución, podría aplicarse igualmente bien a un potencial de superficie dura repulsiva. La fórmula obtenida para este potencial cuadrado duro repulsivo podría entonces considerarse en el límite de un cuadrado duro infinitamente repulsivo. Esto significaría que la dispersión de un obstáculo cuadrado podría resolverse. Notoriamente, este no es el caso, porque un cuadrado contiene 4 ángulos en los que se difracta la onda, y la difracción en un solo ángulo es extremadamente difícil.

Bueno, si tengo razón, entonces este problema no tiene solución, al menos no tiene una solución analítica finita. Y por cierto. el problema es más general de lo que uno podría pensar. Mire el cuadrante superior derecho ($x\gt0$y$y\gt0$). Entonces, las condiciones de contorno son condiciones de contorno de simetría (el producto escalar del vector normal y el gradiente de la solución es cero en$x=0$y$y=0$). Además, en x=a y x=b, la solución debe ser continua (y el gradiente también, pero esto no es importante). Y, por supuesto, la solución debe desaparecer en el infinito. Estos límites en realidad generan cuatro regiones: 0 - ($0\lt x \lt a, 0\lt y\lt b$), 1 - ($0\lt x\lt a, y\gt b$), 2 - ($x\gt a, 0\lt y\lt b$), y 3 - ($x\gt a, y\gt b$). En cada una de estas regiones, la solución es separable, como mencionaste correctamente. La ecuación de Schrödinger ahora hace la afirmación general. La curvatura total en cada región es la suma de dos curvaturas a lo largo de la dirección cartesiana respectiva.$B_i^2=B_{i,x}^2+B_{i,y}^2$con$i=0,1,2,3$. Entonces, tienes cuatro ecuaciones para ocho curvaturas. Se agregan otras cuatro ecuaciones si usa las condiciones de contorno de continuidad. Es decir, a lo largo de los límites, las curvaturas paralelas en las regiones adyacentes deben ser iguales. Por ejemplo, entre la región 0 y 1,$B_{0,x}^2=B_{1,x}^2$, etc. Esto, en total, le da una ecuación lineal con una matriz cuadrada de 8 por 8, y un vector del lado derecho (RHS) que contiene solo las curvaturas totales$B_i^2$. En primer lugar, esta matriz es exactamente singular (es decir, no tiene el rango completo). Para tener una solución no trivial, debe hacer que el RHS sea del mismo rango. Esto le da una condición para las curvaturas totales (que están relacionadas con el potencial y el valor propio). Y esta condición es que las curvaturas deben ser las mismas. Básicamente, esto significa que el potencial es cero en todas partes, una clara contradicción con lo que queríamos. Pruebe este enfoque e infórmeme de sus hallazgos, ya que podría estar equivocado, como describí al principio;)