Traducción pasiva y activa de Peskin y Schroeder

Una transformación pasiva es un mero cambio de coordenadas en una variedad y, por lo general, esto no tiene nada de especial. Cada ecuación tensorial es trivialmente invariante (o mejor dicho covariante) bajo tales transformaciones. En términos de variedades y atlas, esto corresponde a solo un cambio de gráficos. Entonces deja$M$sea ​​dicha multiplicidad, digamos por ejemplo real, diferenciable y de dimensión$n$, y deja$(U,\phi)$y$(V,\psi)$ser dos gráficos en$M$tal que$U\cap V\neq\varnothing$. El mapa$\psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$es un difeomorfismo que representa un cambio de coordenadas en la superposición$U\cap V$encima$M$e involucra subconjuntos abiertos de$\mathbb R^n$.

Una transformación activa es un movimiento real en la variedad$M$a través de un difeomorfismo$\phi:M\to M$que envía cualquier punto$p$al nuevo punto$q = \phi(p)$. Al realizar una transformación activa, no solo mueve el punto$p$a$q$, pero también cada tensor/forma en$p$se va a mover del álgebra tensorial/exterior$T(T_pM)$/$\bigwedge^*(T^*_pM)$a$T(T_qM)$/$\bigwedge^*(T^*_qM)$a través de los mapas$\phi(p)_*$y$\phi(p)^*$Inducido por$\phi$. Un caso interesante es cuando$\phi$surge del flujo de un campo vectorial (por ejemplo, un campo vectorial Killing). Luego se estudia la noción de simetría mediante la derivada de Lie de un tensor por el campo vectorial. Así, la descripción en términos de coordenadas locales es la siguiente. arreglar un punto$p\in M$y gráficos$(U,\rho)$,$(V,\psi)$tal que$p\in U$y$\phi(p)\in V$. El mapa$\psi\circ\phi\circ\rho^{-1}:\rho(U\cap\phi^{-1}(V))\to\psi(\phi(U)\cap V)$es un difeomorfismo entre subconjuntos abiertos de$\mathbb R^n$, y su diferencial relaciona cantidades tensoriales entre espacios tangentes.

Aunque esta pregunta se hizo hace mucho tiempo, me gustaría responderla ahora porque estuve atascado con esto por un tiempo y no encontré una respuesta convincente aquí, pero finalmente entendí la idea.

Una transformación activa es una verdadera transformación del campo/coordenadas, es decir, en la transformación activa mantenemos el campo intacto y movemos el sistema de coordenadas; que es lo mismo que mantener intacto el sistema de coordenadas y mover el campo en la dirección opuesta. Entonces, haciendo una transformación del espacio-tiempo

$$x^\mu\rightarrow x^\mu-a^\mu$$ es lo mismo que transformar el campo en la dirección opuesta, es decir $$\phi(x)\rightarrow \phi(x+a).$$ Como podemos ver, el campo se desplaza (transforma) con respecto al sistema de coordenadas. Entonces, esto es lo que quiere decir el libro de Peskin y Schroeder cuando dice "Podemos describir la traducción infinitesimal alternativamente como una transformación de la configuración del campo"

Por otro lado, una transformación pasiva no es una verdadera transformación. Aquí, tanto el campo como el sistema de coordenadas se mueven juntos, es decir, el campo no se desplaza (transforma) con respecto al sistema de coordenadas. Así que si

$$x^\mu\rightarrow x^\mu-a^\mu$$ entonces el campo se mueve con él como $$\phi(x)\rightarrow \phi(x-a).$$ Así que esto no es realmente una transformación, es solo un re-etiquetado, en el sentido de que$x$sera llamado$x-a$, y por lo tanto$\phi(x)$ahora sera llamado$\phi(x-a)$.

En QFT, siempre que decimos que estamos haciendo una transformación, nos referimos a una transformación activa. Así que cualquier transformación invertible por$\Lambda$dada por

$$x^\mu\rightarrow \Lambda^\mu_\nu x^\nu$$ se puede describir alternativamente como una transformación de la configuración del campo $$\phi(x)\rightarrow \phi'(x)=\phi({\Lambda}^{-1}x).$$ Se puede ver que esto funciona para rotaciones, es decir$\Lambda \in SO(n)$también.

Entonces, sí, su idea de transformación activa y pasiva es correcta y, claramente, la idea detrás de las dos transformaciones es diferente. Para entender por qué usamos transformaciones activas, se puede considerar un ejemplo de transformación del campo bajo un impulso. Lo que sucede aquí es que el campo parece moverse con el sistema de coordenadas en el que se encuentra (que es una transformación activa, no pasiva). Si las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo esta transformación, entonces, según el teorema de Noether, existe una cantidad conservada.

Imagine su campo escalar como un "parche" que se extiende sobre una región finita del espacio, representado como una cuadrícula 3D (o 4D si desea incluir el tiempo).

Una transformación activa considera que el "parche" se mueve mientras la cuadrícula de fondo está fija.

Una transformación pasiva considera que el "parche" está fijo mientras que la cuadrícula de fondo se mueve de manera opuesta al caso anterior.

De cualquier manera, no hay diferencia en lo que respecta al teorema de Noether (o cualquier otro teorema que yo sepa): el$a$el parámetro se cancela al final y si es positivo o negativo es lo mismo.

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