Cuando resuelves las ecuaciones de campo de vacío de la gravedad llega a la conclusión de que el espacio-tiempo es plano en términos de curvatura escalar cuando ha elegido un tensor métrico adecuado. Sin embargo, si calcula el invariante escalar de Kretschmann, este no es necesariamente cero, lo que indica que la variedad elegida no es plana...
Ejemplo: solución de Schwarzschild
La solución de Schwarzschild está dada por
dónde es el elemento lineal habitual de las dos esferas. Para las ecuaciones de campo del tensor de Einstein se cumplen, es decir, el espacio-tiempo es plano. Sin embargo, el escalar de Kretschmann va como
Pregunta
¿Cuál es la diferencia entre la curvatura escalar de Kretschmann y Ricci en términos sencillos?
La métrica de Schwarzschild se construye asumiendo un espacio-tiempo esféricamente simétrico, como consecuencia de una masa esférica estática. Es una solución al vacío de las EFE (ecuaciones de campo de Einstein), pero restringida por la simetría esférica.
Por lo tanto, el espacio-tiempo de Schwarzschild no es plano, incluso si el tensor de curvatura de Ricci
y el escalar de curvatura de Ricci
son cero.
Una variedad es plana si el tensor de curvatura de Riemann
desaparece por todas partes, que no está en Schwarzschild. Si el tensor de Riemann es cero, el tensor de Ricci y el escalar también son cero, pero no necesariamente se cumple lo contrario.
kyle kanos