¿Cómo puede la constante de Planck tomar diferentes valores?

En un universo puramente clásico (newtoniano), los efectos cuánticos estarían ausentes, y la forma de pretender que esto es cierto matemáticamente es permitir que la constante de Planck se acerque a cero y ver cuáles son las consecuencias. De manera similar, en un universo clásico no existirían los efectos relativistas, y esto se expresaría haciendo que c se acerque al infinito.

Esto no significa que$\hbar$o c no son constantes: significa que podemos ver los efectos de eliminar las consideraciones mecánicas cuánticas o relativistas de nuestra descripción matemática del mundo al asignar un valor de cero a esas constantes y ver qué sucede.

Las teorías de las que se dice que tienen parámetros reales en realidad tienen un espacio de parámetros multidimensional, y los parámetros reales son coordenadas en ese espacio.

A menudo, múltiples puntos en el espacio de parámetros producen teorías isomorfas. Por ejemplo, tome una teoría del juguete con parámetros$x$y$y$, y la propiedad que$(x,y)$y$(ax,ay)$son isomorfos para cualquier$a>0$. Esto podría ser porque$x$y$y$ambos se expresan en alguna unidad, y dado que no hay nada más que fije el significado de la unidad, cambiar su tamaño no cambia la teoría siempre que ambos$x$y$y$se actualizan constantemente.

Puede evitar la redundancia en la parametrización cambiando a$(r,θ)$coordenadas polares y luego fijar$r$, tal vez a$1$, o tal vez a$6.6\times 10^{-34}$para la compatibilidad con versiones anteriores. Esto no cubre todo$\mathbb R^2$espacio de parámetros: falta$x=y=0$. Pero está bien para la mayoría de los propósitos si sabes por experiencia que$x$y$y$ambos no son cero.

Esta no es la única opción posible. podrías arreglar$x=1$, y tomar$y$como su parámetro libre. Esto cubre aún menos del original.$(x,y)$espacio, pero está bien para la mayoría de los propósitos si sabe por experiencia que$x>0$.

Los puntos no cubiertos por sus nuevas coordenadas no dejan de existir solo porque son invisibles en su nuevo gráfico de parámetros. Pero para "alcanzarlos" tienes que cambiar los sistemas de coordenadas, y eso significa, por ejemplo, abandonar tu convención de que$\hbar$tiene un valor fijo.

Tenga en cuenta que "la$x=0$límite" no suele ser un punto bien definido en el espacio teórico. Si fijaste$x=1$, entonces$y$y$y/x$denotan la misma teoría, pero la$x\to 0$límite con$y$fijo no es lo mismo que el$x\to 0$límite con$y/x$fijado. De hecho, hay más de uno "$\hbar\to 0$límite" de al menos algunas teorías cuánticas. Si se toma$\hbar\to 0$y$n\to\infty$mientras lo esté agarrando$ω$y$E=n\hbar ω$arreglado, obtienes una teoría de ondas clásica, donde los efectos cuánticos no son observables porque no puedes aislar partículas individuales. Si lo tomas$\hbar\to 0$y$ω\to\infty$mientras lo esté agarrando$n$y$E$arreglado, obtienes una teoría de partículas clásica, donde los efectos cuánticos no son observables porque las franjas de interferencia son infinitesimalmente delgadas. Estas teorías viven en diferentes puntos en el límite del espacio de la teoría cuántica.

Desde una perspectiva matemática, es interesante estudiar las teorías cuánticas, donde la constante de Planck (reducida) no es necesariamente igual a su valor físico. Por ejemplo,

1. En el tema matemático de la cuantización de la deformación ,$\hbar$se trata como un parámetro libre (= indeterminado ).

2. En el tema matemático de la cuantización geométrica ,$\hbar$es una constante arbitraria pero fija.

Respondiendo estrictamente a tu pregunta.

"En el límite semiclásico, ℏ tiende a cero".

En la oración anterior, significa que la contribución de este número al resultado general de una ecuación se vuelve demasiado pequeña y puede ignorarse en comparación con las contribuciones de los otros términos en la misma ecuación .

Imagina la siguiente ecuación simple:$c=a^2+b^2$si evalúas esta ecuación para$a=3$y$b=1$lo más probable es que no vayas a ignorar$b$ya que te provocará algunos$10 \%$error. Ahora trate de evaluar esto para$a=3 \times 10^9$y$b=3 \times 10^3$. En este caso,$b$contribuirá con aproximadamente$10^{-7} \%$del resultado general, y luego puede soltar$b$, y obten$c=a^2$, especialmente si algunas incertidumbres en su experimento son más grandes que$10^{-7} \%$. Esta parte del error experimental es importante, ya que significa que ni siquiera puedes detectar los efectos de$b$lo que significa que, para todos los efectos , no existe. La forma matemática de decir gota$b$es$b \to 0$. En tu caso particular, ℏ se puede imaginar como una especie de momento angular. En un átomo donde los momentos angulares (orbitales y de espín) son de ese orden, no se puede ignorar en la suma total de los momentos angulares. Sin embargo, en la física clásica, donde se considera el momento angular de los planetas, las estrellas y las galaxias, definitivamente puedes eliminar cualquier factor de ℏ.

"la constante de Planck escalada es como$1/N$dónde$N$es la dimensión espacial de Hilbert".

En esta oración es obvio. Tienes una fracción, y cuanto mayor sea el denominador, menor será el resultado.

Ahora bien, supongo que este tipo de interrogantes suelen aparecer sobre argumentos de “cuándo (o por qué) la mecánica cuántica se reduce a la física clásica”. Si este es el caso, no sé la respuesta a esta nueva pregunta, pero diría que, para aquellos que usan argumentos del primer tipo, no creo que haya un conjunto de ecuaciones mecánicas cuánticas fundamentales que se transforma completamente en las leyes de Newton cuando establecemos$ℏ \to 0$, de manera similar a como lo hace la relatividad cuando estableces$c \to \infty$, Por ejemplo. Para la relatividad, solo haga una expansión de Taylor de la energía total relativista, establezca$c \to \infty$y listo, recuperas por completo la mecánica newtoniana, especialmente si se formula de forma lagrangiana o hamiltoniana. Aquellos que usan argumentos del segundo tipo (usando la dimensión espacial de Hilbert), pueden estar en una mejor posición, pero eso sería objeto de una pregunta diferente y no estrictamente sobre "¿Cómo puede la constante de Planck tomar diferentes valores?" Supongo.

En las teorías de perturbación se habla de cómo "perturbar" la mecánica newtoniana clásica para incluir efectos de la mecánica cuántica (o al revés, cómo llegar a la física clásica desde el punto de vista cuántico). Por ejemplo, si tiene en cuenta un error de cantidad de movimiento en una segunda ley de Newton, tendrá:

Sustituyendo en lugar del error de impulso el principio de incertidumbre de Heisenberg, se obtiene:

Ahora diferenciando con respecto a$t$, da :

Dónde$\Delta v$es la incertidumbre en la velocidad, y$\Delta x$es la incertidumbre en la posición.

Dada esta ecuación, sustituya$n=0$(equivalente a restablecer la constante de Planck reducida a cero), y tendrá la expresión clásica ordinaria de la segunda ley de Newton.

Sustituto$n=1$y tendrá una solución semiclásica para un error mínimo debido a la incertidumbre de Heisenberg.

La vista cuántica completa está en el caso$n \ge 1,~n=1,2,3,\dots,\infty$, porque no hay un límite superior por error.

La respuesta de Niels es correcta, pero se debe mencionar la idea del multiverso. Esta es una teoría especulativa de que la física podría no ser la misma en todas partes. Las constantes pueden cambiar de un lugar a otro.

No hay evidencia experimental para esto. Hasta donde sabemos, el universo observable es uniforme. Pero no podemos ver más allá del universo observable. La inflación y la teoría de cuerdas juntas hacen al menos plausible que otras regiones tengan leyes que podrían ser muy diferentes.

Para obtener más información, consulte El multiverso, ¿Ciencia o ciencia ficción? | Sean Carroll

La constante de tablón nunca desaparece en Mecánica Clásica ya que las observaciones se realizan con luz ($E=\hbar\omega$). La mecánica clásica incluye fotones (algún tipo de promedio). Las energías de los fotones son pequeñas con respecto a la energía cinética de un cuerpo clásico, por lo que todo está dentro de las barras de error experimentales, ¡pero existe! Esta es la física correcta.

Desde una perspectiva matemática, es equivalente a decir

• Todas las cantidades relevantes (con las dimensiones de una acción) en el sistema son mucho mayores que$\hbar$
• El valor de$\hbar$es muy pequeño en comparación con la escala correspondiente

El último límite es mucho más fácil de realizar simbólicamente, tomando el límite$\hbar \to 0$. En realidad,$\hbar$permanece constante, pero las escalas de longitudes$\times$momentos o energías$\times$los tiempos en el sistema se vuelven mucho más grandes, de modo que podemos despreciar la influencia de cualquier término que involucre$\hbar$.

Su segundo ejemplo que involucra la "constante de Planck escalada" probablemente implica una idea similar. Para los cálculos numéricos, todas las cantidades deben representarse mediante un número de punto flotante adimensional en la computadora, de modo que las represente como un múltiplo de alguna escala con las dimensiones correctas, en un procedimiento llamado no dimensionalización . Después de este procedimiento, las versiones escaladas de todas las constantes dimensionales anteriores dependen de la escala que se utilizó.

La respuesta de benrg tiene una explicación más teórica de esta idea.