Límite clásico en la cuantificación de deformaciones

Question

Límite clásico en la cuantificación de deformaciones

Física
semiclásico
Transformada de Wigner
mecánica cuántica
formalismo hamiltoniano
deformación-cuantización

usuario85503

En la cuantificación de deformaciones, cuando se trata del producto de Moyal, el límite clásico es

\begin{aligned} \underset{ℏ \to 0}{límite} \frac{1}{i ℏ} [F, gramo]_{⋆_{METRO}} = {F, gramo} \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_M}=\{f,g\}\, \end{align}$

que es solo el corchete de Poisson. Digamos que tenemos un operador, $T$ , tal que

T (F ⋆_{METRO} gramo) = T F ⋆_{T} T gramo,

$T(f\star_Mg)=Tf\star_TTg,$ dónde

⋆_{T} = ⋆_{METRO} T^{- 1} [\overset{\leftarrow}{\partial}] T [\overset{\leftarrow}{\partial} + \vec{\partial}] T^{- 1} [\vec{\partial}] .

$\star_T=\star_MT^{-1}[\overleftarrow{\partial}]T[\overleftarrow{\partial}+\overrightarrow{\partial}]T^{-1}[\overrightarrow{\partial}].$ Aquí,

T^{- 1} [\overset{\leftarrow}{\partial}]

$T^{-1}[\overleftarrow{\partial}]$ medios para reemplazar todos los derivados de

\partial_{p}

$\partial_p$ en

T^{- 1}

$T^{-1}$ con

{\overset{\leftarrow}{\partial}}_{p}

$\overleftarrow{\partial}_p$ y de manera similar para

\partial_{q}

$\partial_q$ . Si queremos calcular el límite clásico, ¿utilizamos

\begin{aligned} \underset{ℏ \to 0}{límite} \frac{1}{i ℏ} [F, gramo]_{⋆_{T}} \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T} \end{align}$

o usamos

\begin{aligned} \underset{ℏ \to 0}{límite} \frac{1}{i ℏ} T [F, gramo]_{⋆_{METRO}} = \underset{ℏ \to 0}{límite} \frac{1}{i ℏ} [T F, T gramo]_{⋆_{T}} ? \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}T[f,g]_{\star_M}= \lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}? \end{align}$

Estoy pensando que usamos esta segunda ecuación porque generalmente $Tf\neq f$ y $Tg\neq g$ . Además, si tenemos un sistema descrito por hamiltoniano $H$ , luego aplicamos $T$ a ella, en esta nueva formulación, este sistema ya no es descrito por $H$ , pero por $TH$ . Si no usamos $Tf$ y $Tg$ , no parece que estemos aplicando correctamente la equivalencia cohomológica porque $T(f\star_M g)\neq f\star_Tg$ .

usuario85503

Si consideramos

T = e^{a \partial_{p}}

$T=e^{a\partial_p}$ , dónde

a \in ℜ

$a\in\Re$ , entonces

⋆_{T} = ⋆_{M}

$\star_T=\star_M$ , entonces

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [f, g]_{⋆_{T}} = {f, g}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f,g\}$ , pero

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [T f, T g]_{⋆_{T}} = {T f, T g} \neq {f, g}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{Tf,Tg\}\neq\{f,g\}$ . Pensándolo más a fondo, requerimos

T

$T$ expandirse en una serie de operadores bidiferenciales. Eso significaría entonces que

T = e^{a \partial_{p}}

$T=e^{a\partial_p}$ ¿No es un operador válido? ¿Hay alguna razón por la que tales operadores no se consideren habitualmente?

usuario85503

si usamos

T = e^{a \partial p}

$T=e^{a\partial p}$ , dónde

a

$a$ es independiente de

ℏ

$\hbar$ y aplicar la formula

lim_{ℏ \to 0} \frac{1}{i ℏ} [f, g]_{⋆_{T}}

$\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , entonces el límite es solo el corchete de Poisson, en lugar de incorporar también

a

$a$ (con

f, g

$f,g$ también independiente de

ℏ

$\hbar$ ) Esto me hace preguntarme si estoy usando la fórmula incorrecta para el límite clásico porque es como si no usáramos

T

$T$ en primer lugar. (Como

T

$T$ representa un cambio en la cantidad de movimiento, ¿no nos gustaría que el límite clásico también incluyera un cambio en la cantidad de movimiento?)

usuario85503

Y para calcular el espectro de la distribución de Husimi, ¿no aplicaríamos simplemente

T

$T$ a

H ⋆_{M} W = E_{n} W

$H\star_MW=E_nW$ , tal que todavía obtenemos

ℏ (n + 1 / 2)

$\hbar(n+1/2)$ para el espectro de

T H

$TH$ ? Mirando el espectro de

H

$H$ en la formulación de Husimi, nuestro espectro de energías sería

E_{n} - 1 / 2 = ℏ n

$E_n-1/2=\hbar n$ (suponiendo que no haya un error de cálculo tonto).

Cosmas Zachos

Y mirando a Husimi, no, ignoraste que H no es TH, entonces H cambió: TH= H + ħ/2. Ese es el punto: ¡un mero cambio de idioma no podría proporcionarle un espectro diferente!

Respuestas (2)

Límite clásico en la cuantificación de deformaciones

Si consideramos $T=e^{a\partial_p}$ , dónde $a\in\Re$ , entonces $\star_T=\star_M$ , entonces $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f,g\}$ , pero $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{Tf,Tg\}\neq\{f,g\}$ . Pensándolo más a fondo, requerimos $T$ expandirse en una serie de operadores bidiferenciales. Eso significaría entonces que $T=e^{a\partial_p}$ ¿No es un operador válido? ¿Hay alguna razón por la que tales operadores no se consideren habitualmente?
si usamos $T=e^{a\partial p}$ , dónde $a$ es independiente de $\hbar$ y aplicar la formula $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , entonces el límite es solo el corchete de Poisson, en lugar de incorporar también $a$ (con $f,g$ también independiente de $\hbar$ ) Esto me hace preguntarme si estoy usando la fórmula incorrecta para el límite clásico porque es como si no usáramos $T$ en primer lugar. (Como $T$ representa un cambio en la cantidad de movimiento, ¿no nos gustaría que el límite clásico también incluyera un cambio en la cantidad de movimiento?)
Y para calcular el espectro de la distribución de Husimi, ¿no aplicaríamos simplemente $T$ a $H\star_MW=E_nW$ , tal que todavía obtenemos $\hbar(n+1/2)$ para el espectro de $TH$ ? Mirando el espectro de $H$ en la formulación de Husimi, nuestro espectro de energías sería $E_n-1/2=\hbar n$ (suponiendo que no haya un error de cálculo tonto).
Y mirando a Husimi, no, ignoraste que H no es TH, entonces H cambió: TH= H + ħ/2. Ese es el punto: ¡un mero cambio de idioma no podría proporcionarle un espectro diferente!

qmecanico · Answer 1

Los siguientes comentarios parecen relevantes para la publicación de OP:

En la cuantificación de la deformación un producto estrella asociativo
$\begin{matrix} (0) & ⋆ : C^{\infty} (METRO) [[ℏ]] \times C^{\infty} (METRO) [[ℏ]] \to C^{\infty} (METRO) [[ℏ]] \end{matrix}$ $\star:~~C^{\infty}(M)[[\hbar]]\times C^{\infty}(M)[[\hbar]]\to C^{\infty}(M)[[\hbar]] \tag{0}$ en una variedad de Poisson $(M,\{\cdot,\cdot\}_{PB})$ debe satisfacer el principio de correspondencia $\begin{matrix} (1) & \underset{ℏ \to 0}{límite} F ⋆ gramo = (\underset{ℏ \to 0}{límite} F) (\underset{ℏ \to 0}{límite} gramo), \end{matrix}$ $\lim_{\hbar\to 0} f\star g~=~\left(\lim_{\hbar\to 0}f\right) \left(\lim_{\hbar\to 0}g\right),\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & \underset{ℏ \to 0}{límite} \frac{[F \overset{⋆}{,} gramo]}{i ℏ} = {\underset{ℏ \to 0}{límite} F, \underset{ℏ \to 0}{límite} gramo}_{PAG B} . \end{matrix}$ $\lim_{\hbar\to 0} \frac{[f\stackrel{\star}{,} g]}{i\hbar}~=~\left\{\lim_{\hbar\to 0}f,~\lim_{\hbar\to 0}g\right\}_{PB}. \tag{2}$ Aquí hemos definido el conmutador estrella $\begin{matrix} (3) & [F \overset{⋆}{,} gramo] := F ⋆ gramo - gramo ⋆ F . \end{matrix}$ $[f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f. \tag{3}$
Se puede demostrar que el principio de correspondencia (1) y (2) también se cumple para otro producto estrella asociativo
$\begin{matrix} (4) & F ⋆^{'} gramo := T^{- 1} ((T F) ⋆ (T gramo)), \end{matrix}$ $f\star^{\prime}g ~:=~T^{-1}((Tf)\star (Tg)),\tag{4}$ si el operador $\begin{matrix} (5) & T : C^{\infty} (METRO) [[ℏ]] ⟶ C^{\infty} (METRO) [[ℏ]] \end{matrix}$ $T:~~C^{\infty}(M)[[\hbar]]~\longrightarrow C^{\infty}(M)[[\hbar]] \tag{5}$ es de la forma $\begin{matrix} (6) & T = 1 + i ℏ Δ + O (ℏ^{2}) \end{matrix}$ $T~=~{\bf 1} + i\hbar\Delta+{\cal O}(\hbar^2)\tag{6}$ dónde $\begin{matrix} (7) & Δ : C^{\infty} (METRO) ⟶ C^{\infty} (METRO) \end{matrix}$ $\Delta:~~C^{\infty}(M)~\longrightarrow C^{\infty}(M)\tag{7}$ es (como máximo) un operador diferencial de segundo orden.

Cosmas Zachos · Answer 2

Podría valer la pena revisar fórmulas como (122,34,5; 131) de nuestro libro , pero, francamente, no estoy seguro de entender lo que subyace y sigue a la pregunta, y especialmente a la discusión clásica del límite.

Para empezar, en QM, f,g y T normalmente implican ħ , ya que son transformadas de Wigner de operadores cuánticos (Lema 0.12): esto crea sutilezas en el límite ħ ↝ 0 , que no necesitan conmutar con T ; pero intentaré que tu comentario dicte que ninguno depende de ħ , lo que simplifica todo. Ahorremos espacio llamando $\star_M=\star$ .

Así, como T es lineal,

T ([F, gramo]_{⋆}) = [T F, T gramo]_{⋆_{T}} ⟹ [F, gramo]_{⋆} = T^{- 1} ([T F, T gramo]_{⋆_{T}}),

$T([f, g]_\star)= [Tf,Tg]_{\star_T} \Longrightarrow [f, g]_\star = T^{-1} ( [Tf,Tg]_{\star_T}),$ entonces el "límite clásico", es algo así como el límite ħ ↝ 0 de esto.

Esta es una transcripción simple de la expresión "Moyal" que produce el PB con el que comenzó su pregunta: es un mero cambio de idioma .

Aplicando tu prueba $T=e^{a \partial_p}$ , una traducción en p , te da la misma expresión, entonces, ya que aquí $\star_T=\star$ , excepcional y felizmente, las dos expresiones anteriores equivalen a

[F (X, pag + a), gramo (X, pag + a)]_{⋆} \mapsto [F (X, pag), gramo (X, pag)]_{⋆} .

$[f(x,p+a),g(x,p+a)]_\star \mapsto [f(x,p),g(x,p)]_\star .$ Los límites clásicos respectivos son entonces

{F (X, pag + a), gramo (X, pag + a)} \mapsto {F (X, pag), gramo (X, pag)} .

$\{f(x,p+a),g(x,p+a)\} \mapsto \{f(x,p),g(x,p)\} .$ Depende de usted elegir de qué expresión desea considerar el comportamiento clásico. El álgebra PB es el mismo y depende de usted especificar las funciones en el argumento; incluso puede cambiar las variables para que se vean iguales. (Es por eso que su "correcto" es tan desconcertante. Todas las expresiones tienen límites clásicos, y podría ser interesante saber todo eso, pero vimos cómo están relacionados por equivalencia. También recuerde, varios sistemas cuánticos diferentes tienen el mismo límite clásico. )

Si su cambio a fuera lineal en ħ , el límite clásico de las dos expresiones sería el mismo.

En la receta de Husimi,

F_{_{H}} (X, pag) = T [F] = Exp (\frac{ℏ}{4} (\partial_{X}^{2} + \partial_{pag}^{2})) F = \frac{1}{π ℏ} \int d X^{'} d {pag}^{'} Exp (- \frac{(X^{'} - X)^{2} + ({pag}^{'} - pag)^{2})}{ℏ}) F (X^{'}, {pag}^{'}),

$f_{_H} (x,p) =T[f]= \exp \left({\hbar\over 4}(\partial_x^2 +\partial_p^2 ) \right) f \\ =\frac{1}{\pi\hbar}\int dx' dp' \exp \left( -{(x'-x)^2+(p'-p)^2 )\over \hbar} \right) f(x',p') ,$ y lo mismo para los observables.

(Entonces, por ejemplo, el oscilador hamiltoniano ahora se convierte en $\quad H_H= (p^2+x^2+\hbar)/2$ .)
El mapa de cambio de representación T es una transformada de Weierstrass que colapsa a la identidad en el límite clásico.

Con los claramente diferentes

⋆_{T} = ⋆_{H} = Exp (\frac{ℏ}{2} ({\overset{\leftarrow}{\partial}}_{X} {\vec{\partial}}_{X} + {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{pag} {\vec{\partial}}_{pag})) ⋆ = Exp (\frac{ℏ}{2} ({\overset{\leftarrow}{\partial}}_{X} - i {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{pag}) ({\vec{\partial}}_{X} + i {\vec{\partial}}_{pag})),

$\star_T= \star_H= \exp\left( \frac{\hbar}{2} (\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_x + \overleftarrow{\partial}_p \overrightarrow{\partial}_p ) \right) ~~\star~= \exp\left( \frac{\hbar}{2} (\overleftarrow{\partial}_x -i \overleftarrow{\partial}_p) (\overrightarrow{\partial}_x + i\overrightarrow{\partial}_p ) \right) ,$ es, de hecho, mucho más fácil resolver la ecuación *-genvalue para este hamiltoniano, (Ejercicio 0.21), hasta cierto punto en el origen, que en la imagen de Moyal: ¡la EDO resultante es solo de primer orden!

Ambas imágenes, naturalmente, producen el mismo espectro de valores estelares, como deberían. (Pero aquí no hay lugar para la autocomplacencia: la función de estrella del estado fundamental en la imagen de Husimi es la raíz cuadrada de la de la imagen de Wigner-Moyal. ¿Puede comprobarlo? Ambos se convierten en δs en el origen en el límite clásico). La distribución arbitraria no estática de Husimi, al igual que una función de Wigner, o un objeto clásico, gira rígidamente en el espacio de fase para un oscilador.

La conclusión es que los operadores, $[ \mathfrak {F}, \mathfrak{G}]$ , corchetes Moyal, $[f(x,p),g(x,p)]_\star$ , cualquier otro soporte de prescripción, $[Tf,Tg]_{\star_T}$ , etc... son, por supuesto, desiguales, pero equivalentes: cualquier operación en cualquier idioma producirá respuestas equivalentes bajo los mapas invertibles (funtores) que lo llevarán de uno a otro. En particular, dado que se trata de mecánica cuántica, todos los valores esperados deberían ser idénticos al final. Como resultado, el límite clásico del mismo será estrictamente idéntico, incluso si los pasos que conducen a él parecen diferentes: piense en un cálculo en coordenadas polares versus cartesianas: el laplaciano se ve muy diferente en cada sistema, pero las respuestas deberían ser las mismas. , luego de transcritos a cualquier idioma. (Por supuesto, la imagen de Moyal es el sistema "cartesiano" aquí, como se describe en ese libro).

Entonces, solo para asegurarme de que entiendo uno de los puntos, tenemos las fórmulas $[Tf,Tg]_{\star_T}=[f(x,p+a),g(x,p+a)]_{\star_M}$ y $[f,g]_{\star_T}=[f,g]_{\star_M}$ . Ambos tienen límites ligeramente diferentes como $\hbar\to0$ (recordando dividir también por $i\hbar$ ), pero ¿considerar ambos como límites clásicos son válidos? La diferencia física sería que en el primer caso, nos estamos transformando $f,g$ estar en el mismo idioma que $T$ y $\star_T$ , mientras que en el segundo caso, queremos ver qué sucede en el límite para el original $f$ y $g$ , pero con $\star_T$ siendo la nueva operación binaria?
Aunque ambos pueden ser "correctos", parece como si usara $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ es mejor usarlo si queremos ver cómo $Tf$ y $Tg$ podría estar relacionado en el límite de $\hbar\to0$ (dando lugar al corchete de Poisson o cantidad similar). ¿Estoy interpretando esto bien? Creo que mi mayor preocupación es que si ambos $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ y $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ son válidos, no estoy muy seguro de cómo debo decidir usar uno u otro.
Sigo confundido acerca de la parte de la pregunta que no está discutiendo. No existe tal cosa como "el límite clásico". Tienes el límite clásico de varias expresiones, y eres libre de hacer con ellas lo que quieras. Si comienza con los operadores, obtiene imágenes de Wigner f para M o T muy diferentes, pero, según lo anterior, ¡ningún cambio de idioma dará como resultado un límite clásico diferente!
Bueno entonces $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ es "un límite clásico" y $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ también "un límite clásico". A partir de los operadores $\hat{f}$ y $\hat{g}$ , lo transformamos en el formalismo de Moyal o en el formalismo T, aplicamos $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ , y obtenemos una respuesta. si aplicamos $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , deberíamos obtener la misma respuesta (si $T$ incorpora $\hbar$ ). Si $T$ no incorpora $\hbar$ , ¿entonces está bien usar cualquiera de las dos fórmulas de límite?
Pido disculpas por tantas preguntas. Manteniendo el ejemplo de $T=e^{a\partial_p}$ ( $a\neq a(\hbar)$ ) en mente, espero entender la lógica física de la base de $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}=\{f(x,p+a),g(x,p+a)\}$ y $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}=\{f(x,p),g(x,p)\}$ . Supongo que por eso estoy confundido. Si ambas fórmulas dan un límite clásico, pero ningún cambio de idioma debe dar como resultado un límite clásico diferente, entonces ambas fórmulas deben dar el mismo límite clásico. Todavía, $\{f(x,p+a),g(x,p+a)\}\neq\{f(x,p),g(x,p)\}$ .
No estoy seguro acerca de su "razón física". Esto es QM, y todo lo que obtiene al final son valores esperados, y cualquiera que sea la imagen que use, operadores, Moyal, Husimi, etc., todas estas imágenes equivalentes producirán valores esperados iguales y, por lo tanto, límites clásicos iguales. Usas el idioma que más te convenga.
Entonces, volviendo a $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ versus $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ , como los límites clásicos deben ser iguales, entonces $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ debe usarse si queremos saber el límite de $f$ y $g$ . Sin embargo, si queremos saber el límite que implica $Tf$ y $Tg$ , entonces $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ se usa
Considerar $f=p$ y $g=H$ . Si queremos comprobar el límite de la ecuación de movimiento de $p$ y $H$ , usamos $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[f,g]_{\star_T}$ (usando el lenguaje en el $T$ imagen y dando el corchete de Poisson como se desee). Para la ecuación de movimiento de $Tp$ y $TH$ , entonces usaríamos $\lim_{\hbar\to0}\frac{1}{i\hbar}[Tf,Tg]_{\star_T}$ .
¡Sí! Intente un valor esperado fácil con ellos, pero recuerde que la estrella Husimi, etc. ¡no necesita desaparecer dentro de una integral de espacio de fase!
¡Excelente! Gracias por su asistencia. Siento que tengo una comprensión mucho mejor ahora.

Límite clásico en la cuantificación de deformaciones

usuario85503

usuario85503

usuario85503

usuario85503

Cosmas Zachos

Respuestas (2)

qmecanico

Cosmas Zachos

usuario85503

usuario85503

Cosmas Zachos

usuario85503

usuario85503

Cosmas Zachos

usuario85503

usuario85503

Cosmas Zachos

usuario85503

¿Es la ecuación de Moyal-Liouville ∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]∂ρ∂t=1iℏ[H,⋆ρ]\frac{\parcial \rho}{\parcial t}= \frac{1}{ i\hbar} [H\stackrel{\star}{,}\rho] usado en aplicaciones?

Regla de ordenación de Weyl

Pregunta de derivación del método WKB

Producto estrella y soportes Poisson

Ejemplos de transformadas de Weyl de operadores no triviales

Derivación de la antigua condición cuántica (∮pidqi=nh∮pidqi=nh\oint p_i dq_i=nh)

¿Puedo cambiar el estado fundamental de la mecánica cuántica por alguna distribución de trayectoria clásica y hacer que se quede quieto después del cambio?

¿Cómo promover expresiones algebraicas a operadores en mecánica cuántica?

¿Cómo puede la constante de Planck tomar diferentes valores?

La constante de Planck y el espacio de fase en la mecánica cuántica