Sobre el teorema de Groenewold y los hamiltonianos clásico y cuántico

Probablemente necesites internalizar que la cuantización accesible de Ivan Todorov es un misterio . Su mejor apuesta para abordar sus preguntas es la cuantización geométrica, no la cuantización del espacio de fase en la que parece estar colgado. Dado que no seguí la lógica de su conclusión/pregunta después del mapa de visión heurística de la tesis de Dirac de 1925 que escribió, y no tengo un gran interés en los trucos de cuantización, probablemente no seré tan útil en su búsqueda. El enlace "relacionado" que puse en los comentarios podría ser más útil para usted. Para una discusión completa de la cuantización, gebnerations se ha basado en Abraham & Marsden pp 425-452.

Sin embargo, dado que el impresionante teorema de Groenewold de 1946 cerró el libro sobre la cuantización de la deformación en el espacio de fase, también podría revisarlo para enviarlo a otra parte, probablemente la cuantización geométrica.

• (Hoy, "cuantización de la deformación" simplemente significa "teoría cuántica en el espacio de fase, considerada como una deformación de la mecánica clásica allí" ; definitivamente no significa cuantización: derivación sistemática de una teoría cuántica consistente a través de un funtor único de la mecánica clásica . Eso es porque Groenewold probó que las expectativas equivocadas de Weyl y von Neumann sobre tales cosas estaban fuera de lugar. Entonces, más que en el pasado, la gente ahora cuantifica heurísticamente, sacando teorías cuánticas de sombreros bien informados, y está en paz con eso).

El teorema del principio de correspondencia de Groenewold enuncia que, en general, no existe un mapa lineal invertible de todas las funciones del espacio de fase.$f(x,p), g(x,p),...,$a los operadores hermitanos en el espacio de Hilbert${\mathfrak Q}(f)$,${\mathfrak Q}(g),...,$tal que la estructura PB se conserva,

$${\mathfrak Q} (\{ f,g\})= \frac{1}{i \hbar} ~ \Bigl [ ~ {\mathfrak Q}(f) , {\mathfrak Q} (g)~\Bigr ] ~,$$ como se prevé en la heurística del funtor de Dirac.

En cambio, el mapa de correspondencia de Weyl 1927 de funciones de espacio de fase a operadores ordenados en el espacio de Hilbert,

$${\mathfrak W}(f) \equiv \frac{1}{(2\pi)^2}\int d\tau d\sigma dx dp ~ f(x,p) \exp (i\tau ({ {\mathfrak p}}-p)+i\sigma ({ {\mathfrak x}}-x)),$$ determina el$\star$-producto en
${\mathfrak W} (f\star g) ={\mathfrak W} (f) ~ {\mathfrak W} (g)$, y por lo tanto el álgebra de mentira de Moyal Bracket ,
$${\mathfrak W} (\{\!\!\{ f,g \}\!\!\} )= \frac{1}{i \hbar} ~ \Bigl [ {\mathfrak W}(f) , {\mathfrak W} (g) \Bigr ] .$$

Entonces, es el MB, en lugar del PB, el que se asigna de manera invertible al conmutador cuántico.

Las dos álgebras de Lie de dimensión infinita, MB y PB, son esencialmente diferentes. (En realidad, el PB es una contracción de Wigner-İnönü del MB, análoga a$SU(\infty)$siendo una contracción de SU(N) .)

Es decir, la "deformación" involucrada en la cuantización del espacio de fase no es trivial: las funciones cuánticas (observables), en general, no necesitan coincidir con las clásicas y contienen más información que aquellas (Groenewold).

Por ejemplo, la transformada de Wigner (transformada de Weyl inversa) del cuadrado del momento angular${\mathfrak L}\cdot {\mathfrak L}$resulta ser$L^2 - 3 \hbar^2/2$, significativamente para la órbita de Bohr del estado fundamental.

El célebre contraejemplo de Groenewold señaló que la expresión PB que desaparece clásicamente

$$\bbox[yellow]{ \{x^3 ,p^3\}+ \frac{1}{12} \{\{p^2,x^3\} , \{x^2,p^3\}\} = 0 }$$ es anómalo en la implementación de la propuesta heurística de Dirac para sustituir conmutadores de${\mathfrak Q}(x), {\mathfrak Q}(p),...$, por PB tras la cuantificación: De hecho, esta sustitución, o la sustitución equivalente de MB por PB, produce una anomalía de Groenewold,$-3 \hbar^2$, para esta expresión específica.

La gente intentó en vano durante décadas encontrar (¿!?) una prescripción de ordenación "mejor" que la de Weyl que mágicamente (¿la piedra filosofal en la crisopoeia de cuantización?) produciría observables cuánticos "correctamente" a partir de los clásicos. Hasta que apreciaron cómo todas las prescripciones de ordenamiento son técnicamente equivalentes, por lo tanto, relacionadas con las de Weyl por una transformación de equivalencia (base). Todas las prescripciones producen paréntesis isomorfos a los conmutadores y, por lo tanto, MB, el álgebra de Lie de QM:

• Los observables QM son un irrep del MB, no el álgebra de Lie de dimensión infinita de PB.

Entonces, ¿ qué hace la gente en la práctica? Lo que viste arriba. Es trivial cuantizar el hamiltoniano (a menos que se trate de potenciales dependientes de la velocidad que mezclan coordenadas y momentos), marcando los espectros y las simetrías deseadas del problema. Luego improvisan los observables adecuados, como el momento angular, como hizo Pauli en su solución del átomo de hidrógeno usando la simetría SO(4). Luego pueden verificar que muchos observables violan los "desiderata de cuantificación consistente" como aquí (otros observables que "actúan" como este son el exponencial de Boltzmann), y sonreír, encogerse de hombros y seguir adelante. Un hecho de vida. ¿Qué hizo que los primeros practicantes esperaran que la mecánica clásica fuera suficiente para especificar completamente la mecánica cuántica con su feroz dependencia constante de Planck a través de un funtor? Como si$\hbar$carecía de información adicional más allá de la física clásica? ¿Estaban pensando en restricciones mágicas de analiticidad? Dígame usted.