¿Cuándo ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 proporciona una transición válida de la mecánica cuántica a la clásica? ¿Cuándo y por qué falla?

La teoría de la cuantización de la deformación proporciona un marco en el que se puede llevar a cabo y comprender la transición cuántica a clásica.

De acuerdo con esta teoría, para (prácticamente cualquier) sistema cuántico, uno puede encontrar (puede ser no único) una variedad de Poisson$\mathcal{M}$(espacio de fase) equipado con un producto asociativo llamado "producto estrella" tal que los observables cuánticos están representados por funciones suaves en$\mathcal{M}$y el producto del operador cuántico viene dado por el producto estrella.

Además, el producto estrella de dos funciones tiene una serie de potencia formal en$\hbar$

$f\star g = \sum_{k=0}^{\infty} \hbar^k B_k(f,g)$

Tal que:

$B_0(f,g) = fg$

$B_1(f,g)-B_1(g, f) = \{f,g\}$, (Corchete de Poisson)

Así obtenemos:

$f\star g - g\star f = \hbar\{f,g\} + \sum_{k=2}^{\infty} \hbar^k (B_k(f,g)-B_k(g,f))$

Tenga en cuenta que, de acuerdo con la Filosofía de la deformación, los observables cuánticos son solo funciones en el espacio de fase, al igual que los observables clásicos, y toda la no conmutatividad cuántica la proporciona el producto estrella. Así si definimos$\hat{f} = \frac{\hbar}{i} f$, obtenemos el límite clásico requerido.

Debe enfatizarse que este procedimiento puede llevarse a cabo incluso para sistemas cuánticos definidos por álgebras de matrices, por ejemplo, una fase apropiada para el espín es la de dos esferas.$S^2$, véase el siguiente artículo de Moreno y Ortega-Navarro. Además,

Kontsevich en su trabajo seminal proporcionó un método constructivo para construir este producto estrella en cada variedad de Poisson de dimensión finita. Consulte la siguiente página de Wikipedia .

También vale la pena mencionar que hay esfuerzos para generalizar la construcción de deformación a las teorías de campo e incorporarle la renormalización, consulte el siguiente trabajo de Dito.

A las otras respuestas, podría agregar un detalle importante: el límite$\hbar \rightarrow 0$es solo una forma conveniente de calcular. Lo que realmente está pasando es que$S[x] \gg \hbar$o equivalente$\frac{S[x]}{\hbar} \to \infty$. Entonces, la justificación de por qué en la integral de trayectoria uno espera encontrar la física clásica en el límite$\hbar \to 0$es que todos los caminos más allá del camino extremo clásico oscilan hacia la muerte. Asi que$\hbar \to 0$es solo una forma conveniente de calcular, lo realmente importante es el tamaño de la acción. En los casos en que se aplica la física clásica, los caminos no extremos tienen acciones que son mucho más grandes, donde mucho más grande se mide en unidades de$\hbar$, es decir, para ser exactos:

Esto suena razonable.

Mi comprensión bastante aproximada es que, (si hay una acción clásica para la transición), en el límite es solo la vecindad de la acción clásica la que contribuye. La aportación de la acción clásica misma mantiene tener medida$0$en relación con la contribución del barrio, incluso cuando se toma el límite (en el que ese barrio va a "tamaño" o "difusión"$0$.)

Si no hay una acción clásica para la transición, todo falla de todos modos.

En el lenguaje de operadores de la mecánica cuántica uno no realiza (a ciegas) el límite$\hbar \rightarrow 0$en las ecuaciones de movimiento (la ecuación de Schrödinger), pero expande los estados como series de potencias en$\hbar$. En primer orden:$\psi(x) = a(x) e^{S(x)}$. Si inserta esta expresión en la ecuación de Schrödinger, obtiene (en primer orden) la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi. Véase, por ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/WKB_approximation#Application_to_Schr.C3.B6dinger_equation o Bates, Weinstein: Conferencias sobre la geometría de la cuantización para una interpretación geométrica